Riemannsche Geometrie ed

Ist wirklich toll...

Mannigfaltigkeiten ed

Definition

Eine n-dimensionale (diffbare) Mannigfaltigkeit \( M \) .... diffbare Kartenabbildungen in den \( \mathbb{R}^n \) ... Hausdorff

Von nun an seien \( p \in M \mapsto x^i ( p ) \in \mathbb{R} \) Koordinatenfunktionen der Mannigfaltigkeit \( M \) , bzw. \( \Psi : M \rightarrow \mathbb{R}^n , p \mapsto x ( p ) \) .

Skalarfelder ed

Auf der Mannigfaltigkeit lassen sich skalare Funtkionen ("Felder") definieren, die jedem Punkt einen Zahlwert zuweisen: \( f : M \mapsto \mathbb{R} \) . Diese kann in Koordinaten dargestellt werden: \( f ( \Psi^{-1} ( x ) ) \) . Die Funktion wird als diffbar bezeichnet, wenn sie in Koordinatendarstellung diffbar ist.

Die Menge aller diffbaren Skalarfelder auf M ist \( \mathfrak{F}(M) \) .

Vektorfelder ed

Tangentialräume ed

Definition

Eine Derivation im Punkt \( p \in M \) ist eine Abbildung \( \delta := \delta_p : \mathfrak{F}(M) \rightarrow \mathbb{R} , f \mapsto \delta ( f ) \) mit:

1) \( \delta ( \lambda f + \mu g ) = \lambda \delta ( f ) + \mu \delta ( g ) \ \ , \lambda , \mu \in \mathbb{R} \ \ , f , g \in \mathfrak{F}(M) \) ( \( \mathbb{R} \) -linear

2) \( \delta ( f g ) = \delta ( f ) g + \delta ( g ) f \) (derivativ, "Produktregel")

Diese bilden für jeden Punkt \( p \in M \) einen Vektorraum (der Differentialoperatoren auf Skalarfeldern). Dieser wird nun identifiziert mit dem Tangentialraum \( T_pM \) . Die Vereinigung aller Tangentialräume ist das Tangentialbündel \( TM := \bigcup_{ p \in M } T_pM \) .

Die Koordinatenableitungen \( \partial_i := \frac{ \partial }{ \partial x^i } \) bilden für jeden Punkt jeweils eine Basis der Tangentialräume.

Vektorfelder ed

Vektorfelder sind nun Funktionen, die jedem Punkt einen Vektor zuordnen, also \( X : M \rightarrow TM , p \mapsto X_p \in T_pM \) . Die Menge Vektorfelder ist \( \mathfrak{X}(M) \) .

Ein Vektorfeld \( X \) ist diffbar, wenn seine Koordinatendarstellung diffbar ist. Dies ist auch genau der Fall, wenn die Wirkung des Vektorfeldes auf ein Skalarfeld \( X ( f ) \) diffbar ist.

Definition

Die Lie-Klammer von \( V , W \in \mathfrak{X}(M) \) ist \( [ V , W ] := V W - W V \ \ , [ V , W ] ( f ) := V ( W ( f ) ) - W ( V ( f ) ) \in \mathfrak{F}(M) \ \ , f \in \mathfrak{F}(M) \)

Es gilt für Koordinaten immer \( [ \partial_i , \partial_k ] = 0 \) .

Seien \( M , N \) Mannigfaltigkeiten und \( F : M \rightarrow N \) eine Abbildung. Dann ist das Differential \( dF_p = DF_p : T_pM \rightarrow T_{ F ( p ) }N \) eine lineare Abbildung zwischen den Tangentialräumen.

Dualvektorfelder, 1-Formen ed

Definition

Eine 1-Form ist eine Funktion \( \omega : \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{F}(M) , X \mapsto \omega ( X ) \) .

Die Menge der Dualvektoren in einem Punkt \( p \in M \) ist der Dualraum oder Kotangentialraum \( T^\ast_pM \) und die Menge der 1-Formen ist \( \mathfrak{X}^\ast(M) \) .

Bei gewählten Koordinaten bilden die Koordinatendifferentiale \( \lbrace dx^i \rbrace \) eine Basis für jeden Kotangentialraum \( T^\ast_pM \) . Es ist die Dualbasis der Koordinatenableitungen: \( dx^i ( \partial_k ) = \delta^i_k \) .

Bemerkung:

Die Koordinatenfunktionen \( x^i \) können als Skalarfelder angesehen werden, oder als Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten \( x^i : M \rightarrow N = \mathbb{R} \) , dann ist \( dx^i_p : T_pM \rightarrow T_{ x^i ( p ) }\mathbb{R} \cong \mathbb{R} \) . Das Koordinatendifferential bildet also Vektoren auf Zahlen ab (Vektorfelder auf Skalarfelder), somit \( dx^i \in \mathfrak{X}^\ast(M) \) .

Basisentwicklung

Für ein Vektorfeld \( X = X^i \partial_i \) gilt: \( dx^i ( X ) = dx^i ( X^j \partial_j ) = X^j dx^i ( \partial_j ) = X^j \delta^i_j = X^i \)

Für eine 1-Form \( \omega = \omega_i dx^i \) gilt: \( \omega (\partial_i ) = \omega_i \)

Differentialformen ed

siehe Differentialformen

Tensoren ed

siehe Tensoren

Metrik ed

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Zusammenhang ed

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Krümmungstensor ed

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