Riemannsche Geometrie ed

Ist wirklich toll...

Table of Contents

Mannigfaltigkeiten ed

Definition
Eine n-dimensionale (diffbare) Mannigfaltigkeit \( M \) .... diffbare Kartenabbildungen in den \( \mathbb{R}^n \) ... Hausdorff

Von nun an seien \( p \in M \mapsto x^i ( p ) \in \mathbb{R} \) Koordinatenfunktionen der Mannigfaltigkeit \( M \) , bzw. \( \Psi : M \rightarrow \mathbb{R}^n , p \mapsto x ( p ) \) .

Skalarfelder ed

Auf der Mannigfaltigkeit lassen sich skalare Funtkionen ("Felder") definieren, die jedem Punkt einen Zahlwert zuweisen: \( f : M \mapsto \mathbb{R} \) . Diese kann in Koordinaten dargestellt werden: \( f ( \Psi^{-1} ( x ) ) \) . Die Funktion wird als diffbar bezeichnet, wenn sie in Koordinatendarstellung diffbar ist.

Die Menge aller diffbaren Skalarfelder auf M ist \( \mathfrak{F}(M) \) .

Vektorfelder ed

Tangentialräume ed

Definition
Eine Derivation im Punkt \( p \in M \) ist eine Abbildung \( \delta := \delta_p : \mathfrak{F}(M) \rightarrow \mathbb{R} , f \mapsto \delta ( f ) \) mit:
1) \( \delta ( \lambda f + \mu g ) = \lambda \delta ( f ) + \mu \delta ( g ) \ \ , \lambda , \mu \in \mathbb{R} \ \ , f , g \in \mathfrak{F}(M) \) ( \( \mathbb{R} \) -linear
2) \( \delta ( f g ) = \delta ( f ) g + \delta ( g ) f \) (derivativ, "Produktregel")

Diese bilden für jeden Punkt \( p \in M \) einen Vektorraum (der Differentialoperatoren auf Skalarfeldern). Dieser wird nun identifiziert mit dem Tangentialraum \( T_pM \) . Die Vereinigung aller Tangentialräume ist das Tangentialbündel \( TM := \bigcup_{ p \in M } T_pM \) .

Die Koordinatenableitungen \( \partial_i := \frac{ \partial }{ \partial x^i } \) bilden für jeden Punkt jeweils eine Basis der Tangentialräume.

Vektorfelder ed

Vektorfelder sind nun Funktionen, die jedem Punkt einen Vektor zuordnen, also \( X : M \rightarrow TM , p \mapsto X_p \in T_pM \) . Die Menge Vektorfelder ist \( \mathfrak{X}(M) \) .

Ein Vektorfeld \( X \) ist diffbar, wenn seine Koordinatendarstellung diffbar ist. Dies ist auch genau der Fall, wenn die Wirkung des Vektorfeldes auf ein Skalarfeld \( X ( f ) \) diffbar ist.

Definition
Die Lie-Klammer von \( V , W \in \mathfrak{X}(M) \) ist \( [ V , W ] := V W - W V \ \ , [ V , W ] ( f ) := V ( W ( f ) ) - W ( V ( f ) ) \in \mathfrak{F}(M) \ \ , f \in \mathfrak{F}(M) \)

Es gilt für Koordinaten immer \( [ \partial_i , \partial_k ] = 0 \) .

Seien \( M , N \) Mannigfaltigkeiten und \( F : M \rightarrow N \) eine Abbildung. Dann ist das Differential \( dF_p = DF_p : T_pM \rightarrow T_{ F ( p ) }N \) eine lineare Abbildung zwischen den Tangentialräumen.

Dualvektorfelder, 1-Formen ed

Definition
Eine 1-Form ist eine Funktion \( \omega : \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{F}(M) , X \mapsto \omega ( X ) \) .

Die Menge der Dualvektoren in einem Punkt \( p \in M \) ist der Dualraum oder Kotangentialraum \( T^\ast_pM \) und die Menge der 1-Formen ist \( \mathfrak{X}^\ast(M) \) .

Bei gewählten Koordinaten bilden die Koordinatendifferentiale \( \lbrace dx^i \rbrace \) eine Basis für jeden Kotangentialraum \( T^\ast_pM \) . Es ist die Dualbasis der Koordinatenableitungen: \( dx^i ( \partial_k ) = \delta^i_k \) .

Bemerkung:
Die Koordinatenfunktionen \( x^i \) können als Skalarfelder angesehen werden, oder als Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten \( x^i : M \rightarrow N = \mathbb{R} \) , dann ist \( dx^i_p : T_pM \rightarrow T_{ x^i ( p ) }\mathbb{R} \cong \mathbb{R} \) . Das Koordinatendifferential bildet also Vektoren auf Zahlen ab (Vektorfelder auf Skalarfelder), somit \( dx^i \in \mathfrak{X}^\ast(M) \) .

Basisentwicklung
Für ein Vektorfeld \( X = X^i \partial_i \) gilt: \( dx^i ( X ) = dx^i ( X^j \partial_j ) = X^j dx^i ( \partial_j ) = X^j \delta^i_j = X^i \)
Für eine 1-Form \( \omega = \omega_i dx^i \) gilt: \( \omega (\partial_i ) = \omega_i \)

Differentialformen ed

siehe Differentialformen

Tensoren ed

siehe Tensoren

Metrik ed

Eine Metrik auf \[M\] ist einfach ein positiv definites Tensorfeld 2. Stufe \[g\]. Dieses definiert ein Skalarprodukt auf \[TM\]:

\[ \langle X, Y \rangle = g(X, Y) = g_{\mu\nu} X^\mu Y^\nu \]
Die Inverse Matrix wird als \[g^{\mu\nu}\] geschrieben.

Es definiert auch kanonische Isomorphismen zwischen \[ \mathfrak X(M) \] und \[ \mathfrak X^\star(M) \]

\[ X^\sharp = g(X,\cdot), \qquad X_\mu = g_{\mu\nu} X^\nu \]
\[ \omega^\flat = g^{-1}(\omega,\cdot), \qquad \omega^\mu = g^{\mu\nu} \omega_\nu \]

Dadurch lässt sich auch die Länge einer Kurve definieren

\[ \operatorname{Len}_c = \int \sqrt{ g(\dot c, \dot c) } dt \]

Zusammenhang ed

generell ed

Ein Zusammenhang ist eine Richtungsableitung von Vektorfeldern. Also eine Abbildung \[ \nabla : \mathfrak X(M) \times \mathfrak X(M) \rightarrow \mathfrak X(M) \] mit (\[ f, g \in \mathfrak F(M), X, Y,\dots \in \mathfrak X(M) \]

Man schreibt gerne

\[ \nabla_X f := X f \]

In Koordinaten kann \[\nabla\] dargestellt werden durch

\[ \nabla_{\partial_\mu} \partial_\nu =: \Gamma^\rho_{\mu\nu} \, \partial_\rho \]
\[ \nabla_X Y = \nabla_{X^\mu \partial_\mu} (Y^\nu \partial_\nu) = X^\mu \, Y^\nu \, \Gamma^\rho_{\mu\nu} \, \partial_\rho + X^\mu (\partial_\mu Y^\nu) \partial_\nu \]

...Definition für beliebige Tensoren...

Paralleltransport ed

Ein Zusammenhang "verknüpft" die Tangentialräume benachbarter Punkte. \[X\] heißt nämlich paralleles Vektorfeld entlang der Kurve \[c\], wenn

\[ \nabla_{\dot c} X = 0 \]

(eindeutige Lösung der DGL...), deshalb kann auch ein Vektor entlang einer Kurve "parallel" transportiert werden.

Torsion ed

Definition
\[ T(X, Y) := \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X, Y] \]

In Koordinaten ist das

\[T^\rho_{\mu\nu} = \Gamma^\rho_{\mu\nu} - \Gamma^\rho_{\nu\mu} \]

Levi-Civita-Zusammenhang ed

Es gibt einen eindeutigen Zusammenhang auf \[(M, g)\], der

Konstruktiv:

\[ 2 g(\nabla_X Y, Z) = X g(Y, Z) + Y g(X, Z) - Z g(X, Y) + g([X, Y], Z) - g([Y, X], Z) - g([X, Z], Y) \]
\[ 2 \Gamma^\rho_{\mu\nu} = g^{\rho\alpha} \left( g_{\nu\alpha,\mu} + g_{\alpha\mu,\nu} - g_{\mu\nu,\alpha} \right) \]

Krümmungstensor ed

Der Krümmungstensor (kuriose, alte Schreibweise) ist

\[ R(X, Y) Z := \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X, Y]} Z \]

In Koordinaten:

\[ R(\partial_\mu, \partial_\nu) \partial_\rho = R^\sigma_{\rho\mu\nu} \, \partial_\sigma \]
\[ R^\sigma_{\rho\mu\nu} = \Gamma^\sigma_{\nu\rho,\mu} - \Gamma^\sigma_{\mu\rho,\nu} + \Gamma^\sigma_{\mu\alpha} \Gamma^\alpha_{\nu\rho} - \Gamma^\sigma_{\nu\alpha} \Gamma^\alpha_{\mu\rho} \]

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Categories: Mathematik, Differentialgeometrie