Tensoren ed

Tensoren verallgemeinern Vektoren und Skalare... sind sehr wichtig in der Physik!

Vektoren, Skalare ed

Vektoren ed

Gehen wir von einem Vektorraum \( V \) über dem Körper \( \mathbb{R} \) aus. Um Verwechslungen zu vermeiden, werden Vektoren mit Vektorpfeil geschrieben: \( \vec{v} \in V \) .

Wird eine Basis \( \lbrace \vec{e}_i \rbrace \) von \( \vec{v} \in V \) gewählt, kann jeder Vektor in Komponenten entwickelt werden: \( \vec{v} = \sum_{i} v^i \vec{e}_i = v^i \vec{e}_i \) (Einsteinsche Summenkonvention, \( v^i \in \mathbb{R} \) , "kontravariante Komponenten").

Dualvektoren ed

Definition (Dualvektorraum)

\( V^\ast \) sei die Menge der linearen Funktionen von \( V \) nach \( \mathbb{R} \) :

\( V^\ast := \left\lbrace \tilde{f} \big\vert \tilde{f} : V \rightarrow \mathbb{R} , \mathrm{linear} \right\rbrace \)

Der Dualraum ist ebenfalls ein \( \mathbb{R} \) -Vektorraum und sogar isomorph zu \( V \) (also auch von gleicher Dimension).

Auch hier kann eine Basis \( \lbrace \tilde{e}^i \rbrace \) gewählt werden, wodurch eine Basisentwicklung möglich ist: \( \tilde{f} = f_i \tilde{e}^i \) ( \( f_i \in \mathbb{R} \) , "kovariante Komponenten").

Da 2 frei wählbare Basen aber eine zu viel sind, ist es praktisch, die Dualbasis durch die Basis des Vektorraums \( V \) festzulegen (kanonische Dualbasis) über \( \tilde{e}^i ( \vec{e}_j ) = \delta^i_j \) . Hieraus folgt: \( \tilde{f} ( \vec{v} ) = ( f_i \tilde{e}^i ) ( v^j \vec{e}_j ) = f_i v^j \tilde{e}^i ( \vec{e}_j ) = f_i v^j \delta^i_j = f_i v^i \) . Da die linke Seite hierbei basisunabhängig definiert ist, muss es auch die rechte Seite sein! (Das deutet die große Macht der Einsteinschen Summenkonvention an)

Zusätzlich ist folgende Definition nützlich: \( \vec{v} ( \tilde{f} ) := \tilde{f} ( \vec{v} ) \) (Gleichberechtigung zwischen Vektoren und Dualvektoren). Die Basisentwicklung \( v^i = \tilde{e}^i ( \vec{v} ) \) gilt dann auch für Dualvektoren: \( f_i = \vec{e}_i ( \tilde{f} ) \) .

Transformationsverhalten ed

Der Übergang von einer Basis \( \lbrace \vec{e}_i \rbrace \) in eine andere \( \lbrace \vec{e'}_i \rbrace \) wird durch die Transformations-Matrix \( \Lambda \) beschrieben: \( \vec{e'}_i = \Lambda_i^j \vec{e}_j \) . Die Inverse von \( \Lambda \) sei \( ( \bar{\Lambda}^i_j ) := ( \Lambda_i^j )^{-1} \) .

Die Dualbasis transformiert sich mit \( \Lambda^{-1} \) , wegen: \( \tilde{e}^i ( \vec{e}_j ) = \delta^j_i = \tilde{e'}^i ( \vec{e'}_j ) = \cdots \) .

Die Komponenten eines kontravarianten Vektors transformieren sich nun genau wie die Dualbasis: \( \vec{v} = v^i \vec{e}_i = v'^i \vec{e'}_i = v'^i \bar{\Lambda}_i^j \Lambda_j^k \vec{e'}_k = v'^i \bar{\Lambda}_i^j \vec{e}_j \) .

Tensoren 2. Stufe ed

kovariant ed

Definition

Seien \( V, W \) jeweils \( \mathbb{R} \) -Vektorräume mit den Dualräumen \( V^\ast, W^\ast \) .

Das Tensorprodukt \( V^\ast \otimes W^\ast \) ist die Menge der multilinearen Abbildungen \( \left\lbrace T : V \times W \rightarrow \mathbb{R} \big\vert ( \vec{v} , \vec{w} ) \mapsto T ( \vec{v} , \vec{w} ) \right\rbrace \) .

Dies ist wieder ein Vektorraum. Er wird aufgespannt von den Produkten der Dualvektoren \( \tilde{f} \in V^\ast , \tilde{h} \in W^\ast \Rightarrow \tilde{f} \otimes \tilde{h} \in V^\ast \otimes W^\ast \Leftrightarrow \tilde{f} \otimes \tilde{h} ( \vec{v} , \vec{w} ) = \tilde{f} ( \vec{v} ) \cdot \tilde{h} ( \vec{w} ) \) . (Die Umkehrung gilt nicht allgemein!!!, nicht jedes Element des Tensorprodukt lässt sich als simples Produkt darstellen).

Die Basis von \( V^\ast \otimes W^\ast \) ist \( \lbrace e^i \otimes E^j \rbrace \) , falls \( \lbrace e^i \rbrace \) und \( \lbrace E^j \rbrace \) Basen der Dualräume sind. Somit ist \( \operatorname{dim} (V^\ast \otimes W^\ast) = \operatorname{dim} V^\ast \cdot \operatorname{dim} W^\ast \) . Von nun an wird nur noch der Fall \( W = V \) von Interesse sein.

Die Basisentwicklung von \( T \in V^\ast \otimes V^\ast \) ist wieder \( T = T_{ij} e^i \otimes E^j \) , wobei \( T_{ij} = T ( \vec{e}_i , \vec{e_j} ) \) gilt.

Achtung: oft wird die Koeffizientenmatrix \( T_{ij} \) selbst als Tensor bezeichnet.

kontravariant ed

Ebensogut kann man \( V^\ast \) als Vektorraum und \( V \) als dessen Dualraum ansehen und auf ihnen das Tensorprodukt \( V \otimes V \) definieren. Die Basisentwicklung ist in diesem Fall \( T^{ij} = T ( \tilde{e}^i , \tilde{e}^j ) \) . Entsprechend können auch Mischungen aus ko- und kontravarianten Tensoren definiert werden.

Transformationen ed

Tensoren allgemein ed

Skalarprodukt ed

Bisher besitzen die Vektorräume noch kein Skalarprodukt. Es existiert aber eine kanonische, bilineare Abbildung \( I : V^\ast \times V \rightarrow \mathbb{R}, ( \tilde{f} , \vec{v} ) \mapsto I ( \tilde{f} , \vec{v} ) := \tilde{f} ( \vec{v} ) \) . Diese könnte zu einem Skalarprodukt der Vektorräume ausgebaut werden, falls eine Isomorphie zwischen Vektorraum und Dualraum angegeben ist, diese Rolle übernimmt die Metrik.

Definition

Eine Metrik ist eine bijektive und bilineare Abbildung \( g : V \times V \rightarrow \mathbb{R} \) .

Sie definiert eine Isomorphie zwischen \( V \) und \( V^\ast \) mittels \( \tilde{v} := g ( \vec{v} , \cdot ) \Leftrightarrow \tilde{v} ( \vec{w} ) = g ( \vec{v} , \vec{w} ) \) .

Die Wahl der Metrik ist völlig frei! Entweder kann eine Metrik vorgegeben werden, oder sie wird durch die Ernennung einer Basis zur Orthonormal-Basis festgelegt. In jedem Fall ist eine Orthonormalbasis eine Basis, für die gilt: \( g ( \vec{e}_i , \vec{e}_j ) = \delta_{i,j} \) . Daraus folgt, dass \( \lbrace \tilde{e}^i := g ( \vec{e}_i , \cdot ) \rbrace \) die kanonische Dualbasis ist.

In jeder Basis kann \( g \) mittles \( g_{ij} = g ( \vec{e}_i , \vec{e}_j ) \) in Komponenten entwickelt werden. Damit gilt \( g ( \vec{v} , \vec{w} ) = g ( v^i \vec{e}_i , w^j \vec{e}_j ) = v^i w^j g ( \vec{e}_i , \vec{e}_j ) = v^i w^j g_{ij} \) . Und somit \( v_i = \vec{e}_i ( \tilde{v} ) = g ( \vec{e}_i , \vec{v} ) = v^j g_{ij} \) . Speziell in einer ONB: \( v_i = v^j \delta_{ij} = v^i \) . ("kovariant gleich kontravariant", aber nur in einer ONB!!!)

Die Inverse der Matrix \( ( g_{ij} ) \) wird geschrieben als \( ( g^{ij} ) \) . Dies definiert eine Metrik auf dem Dualraum. Es gilt auch \( g_{ij} g^{jk} = \delta_i^k =: g_i^k \) , sowie \( f^i = g^{ij} f_j \) .