Elektrodynamik ed

Alles im SI-System!

nützlich: Vektoranalysis

Table of Contents

Elektrostatik ed

Grundlagen ed

Zwei ruhende Punkt-Ladungen \( q_1, q_2 \) üben aufeinander die Coulomb-Kraft aus:

$  \mathbf{F} = \frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon_0 } \frac{ q_1 q_2 }{ r^2 } \hat \mathbf{r} $ 

$  \epsilon_0 = 8,854 \cdot 10^{-12} \frac{ As }{ Vm }  $  ist dabei die Dielektrizitätskonstante.

Das elektrische Feld ist die Kraft pro Ladung auf eine Probeladung \( q \) : \( \mathbf{F} = q \mathbf{E} \) .

Für eine Ladungsdichte \( \rho \) ist das elektrische Feld dann: \( \mathbf{E}(\mathbf{R}) = \frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon_0 } \int_V \frac{ \mathbf{R} - \mathbf{r} }{ | \mathbf{R} - \mathbf{r} |^3 } \rho(\mathbf{r}) \mathrm dV \) .

Gaußscher Satz ed

Sei \( V \) ein Volumen, dann gilt:

$  \int_{ \partial V } \mathbf{E} \cdot \mathrm d\mathbf{f} = \frac{ 1 }{ \epsilon_0 } \int_V \rho \mathrm dV = \frac{ Q(V) }{ \epsilon_0 }  $

Der Fluss des elektrischen Feldes durch die Oberfläche eines Volumens entspricht der Ladung im Volumen.

Potential ed

Ein statisches (!) elektrisches Feld ist ein Gradientenfeld: \( \mathbf{E} = - abla \phi \) mit einem Potential \( \phi \) . Hierdurch kann eine Spannung zwischen 2 Punkten definiert werden: \( U = \phi(p_2) - \phi(p_1) = \int_{p_1}^{p_2} \mathbf{E} \cdot \mathrm d\mathbf{s} \)

Das Potential lässt sich dann aus der Ladungsdichte berechnen: \( \phi(\mathbf{R}) = \frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon_0 } \int \frac{ \rho(\mathbf{r}) }{ | \mathbf{R} - \mathbf{r} | } \mathrm d^3r \) .

Die Poissongleichung: \( \triangle \phi = - \frac{ 1 }{ \epsilon_0 } \rho \)

Elektrostatik in Materie ed

Die Gesetze im Vakuum sind universell! Sie gelten mikroskopisch exakt. Makroskopisch müssen aber über innere Strukturen von Materie Mittelungen vollzogen werden, weswegen sich neue Begriffe und Gleichungen ergeben.

Größen seien hier aufgeteilt in \( \mathbf{E}_{tot} = \mathbf{E}_0 + \mathbf{E}_{ext} + \mathbf{E}_{ind} \) . Also total = ungestörte Materie + extern + induziert. Da die ungestörte Materie meist weggemittelt wird, ist \( \mathbf{E} := \mathbf{E}_{ext} + \mathbf{E}_{ind} \) die interessante Größe.

Dielektrikum ed

Die Kapazität eines mit einem isolierenden Material gefüllten Kondensators steigt um den Faktor \( \epsilon \) , das Feld einer Ladung sinkt um den selben Faktor, da das elektrische (äußere) Feld im Material Dipole \( \mathbf{p}_i \) induziert (atomar/molekular). Diese erzeugen ein Gegenfeld. Die Polarisation ist die mittlere Dipoldichte \( \mathbf{P} = \frac 1 V \sum_i \mathbf{p}_i \) . Sind die Dipole parallel ergibt sich mit der Teilchenzahldichte \( n \) : \( \mathbf{P} = n \mathbf{p}_i \) .

Dipolmomente der Teilchen und elektrisches Feld sind proportional: \( \mathbf{p}_i = \alpha \mathbf{E} \) mit der Polarisierbarkeit \( \alpha \) . Die Polarisation erzeugt ein Gegenfeld \( \mathbf{E}_{ind} = - \frac{ \mathbf{P} }{ \epsilon_0 } \) . Mit \( \mathbf{P} = n \mathbf{p}_i = n \alpha \mathbf{E} =: \epsilon_0 \chi \mathbf{E} \) ( \( \chi \) ist die Suszeptibilität) folgt \( \mathbf{E} = \frac{ \mathbf{E}_{ext} }{ \chi + 1 } \) .

Nimmt man einen linearen "Response" an, so gilt \( \mathbf{E} = \frac 1 \epsilon \mathbf{E}_{ext} \) , mit \( \epsilon \) der relativen Dielektrizität (Permitivität). Es gilt \( \epsilon = \chi + 1 \) .

Gleichungen ed

Hier muss man über mehrere Teilchen mitteln!

Polarisation ist Ladungstrennung, also wird eine zusätzliche Ladungsverteilung \( \rho_{pol} \) induziert. Es gilt \( \operatorname{div} \mathbf{P} = \rho_{pol} \) . In einem homogenen externen Feld, in dem also auch ein homogenes Polarisationsfeld entsteht, ist somit die Ladungsverteilung Null. Andererseits muss sie auch Null sein, da sich die verschobenen Ladungen von benachbarten Teilchen kompensieren. Nur am Rand entsteht "echte" Ladung, hier machen auch die Felder einen Sprung.

Weiterhin muss gelten \( \operatorname{div} \mathbf{E} = \frac{ 1 }{ \epsilon_0 } ( \rho_{frei} - \rho_{pol} ) = \operatorname{div} ( \mathbf{E}_{ext} - \mathbf{P} / \epsilon_0 ) \) .

Man definiert die dielektrische Verschiebungsdichte als \( \mathbf{D} := \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} = \epsilon_0 \epsilon \mathbf{E} = \epsilon_0 \mathbf{E}_{ext} \) und schreibt dazu die freie Ladungsdichte als \( \rho := \rho_{frei} \) . Damit ergibt sich

$  \operatorname{div} \mathbf{D} = \rho  $

Außerdem gibt es noch die Clausius-Mossotti-Gleichung: \( \alpha = \frac{ 3 \epsilon_0 }{ n } \frac{ \epsilon - 1 }{ \epsilon + 2 } \)

Grenzflächen ed

Ist \( \mathbf{n} \) der Normalenvektor einer geladenen Grenzfläche und \( \sigma \) die Oberflächenladung, so gilt:

$  \mathbf{n} \cdot ( \mathbf{D}_2 - \mathbf{D}_1 ) = \sigma  $ 

$  \mathbf{n} \times ( \mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1 ) = 0  $

Multipole ed

Allgemein ed

Eine Ladungsverteilung \( \rho \) erzeugt ein Potential \( \phi(\mathbf{R}) = \frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon_0 } \int \frac{ \rho(\mathbf{r}) }{ | \mathbf{R} - \mathbf{r} | } \mathrm d^3r \) . Ist diese Verteilung weit genug vom Beobachter entfernt, kann der \( \frac 1 r \) -Term in eine Taylor-Reihe entwickelt werden: \( \frac 1 { \mathbf{R} - \mathbf{r} } = \exp( - \mathbf{r} \cdot abla ) \frac 1 R = \frac 1 R + \frac{ \mathbf{r} \cdot \mathbf{R} }{ R^3 } + \frac{ 3 ( \mathbf{r} \cdot \mathbf{R} )^2 + r^2 R^2 }{ R^5 } + \cdots \) . Die Anteile des Integrals ergeben dann:

Und wieder zusammengesetzt: \( 4 \pi \epsilon_0 \phi(\mathbf{R}) = \frac q R + \frac{ \mathbf{R} \cdot \mathbf{p} }{ R^3 } + \frac 1 2 Q_{ij} \frac{ x_i x_j }{ R^5 } + \cdots \)

Dipole ed

Zwei Ladungen \( +q, -q \) im Abstand \( \mathbf{d} \) besitzen ein Dipolmoment \( \mathbf{p} = q \mathbf{d} \) .

Ein Dipol erfährt im (inhmogenen) elektrischen Feld eine Kraft \( \mathbf{F} = ( \mathbf{p} \cdot abla ) \mathbf{E} \) und ein Drehmoment \( \mathbf{M} = \mathbf{p} \times \mathbf{E} \) . Die potentielle Energie ist \( E_{pot} = - \mathbf{p} \cdot \mathbf{E} \) .

Quadrupole ed

Der Quadrupoltensor (Matrix) ist symmetrisch und spurfrei, deswegen hat er nur 5 freie Parameter. 2 davon geben die Stärke an, 3 die Winkel-Ausrichtung. Er entspricht 4 Punktladungen \( +q, -q \) auf einem Parallelogramm mit Kanten \( \mathbf{a}, \mathbf{d} \) . Seine Stärke ist dann \( Q_{ij} = q a_i d_j \) . Kann somit auch durch 2 Dipole erzeugt werden.

Seine potentielle Energie im Feld ist \( E_{pot} = - \frac 1 6 Q_{ij} \partial_i E_j \) .

Magnetostatik ed

Grundlagen ed

Zwei ruhende magnetische Pole mit den Polstärken \( p_1, p_2 \) üben aufeinander eine Kraft aus: \( \mathbf{F} = \frac{ 1 }{ 4 \pi \mu_0 } \frac{ p_1 p_2 }{ r^2 } \hat \mathbf{r} \) .

$  \mu_0 = 4 \pi 10^{-7} \frac{ V s }{ A m }  $  ist dabei die magnetische Permeabilität oder Induktionskonstante.

Es kann auch die magnetische Erregung als Kraft pro Polstärke definiert werden: \( \mathbf{F} = p \mathbf{H} \) . Das Magnetfeld oder die magnetische Induktion ist vorerst \( \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H} \) mit Einheiten \( \left[ B \right] = \frac{ Vs }{ m^2} = \mathrm{Tesla} \)

Amperesches Gesetz ed

Sei \( F \) eine Fläche, durch die eine Stromdichte \( j \) fließt, dann gilt für das Magnetfeld über den Rand \( \partial F \) :

$  \int_{ \partial F } \mathbf{B} \cdot \mathrm d\mathbf{s} = \mu_0 \int_F \mathbf{j} \cdot \mathrm d\mathbf{f} = \mu_0 I  $ .

Die magnetische Zirkulation durch die Randkurve entspricht dem Fluss des Stromes durch die Fläche.

Maxwellgleichungen ed

integrale Form ed

$ 
 \begin{array}{lll}
   \mathrm{M1} & \int_{\partial V} \mathbf{E} \cdot \mathrm d\mathbf{f} = \frac{ 1 }{ \epsilon_0 } \int_V \rho \mathrm dV & \mathrm{Gauss} \\
 \end{array}
$
=== differentielle Form ===

$ 
 \begin{array}{lll}
   \mathrm{M1} & \operatorname{div} \mathbf{E} = \frac{ 1 }{ \epsilon_0 } \rho & \mathrm{Gauss} \\
   \mathrm{M2} & \operatorname{rot} \mathbf{E} = - \mathbf{\dot B} & \mathrm{Faraday} \\
   \mathrm{M3} & \operatorname{div} \mathbf{B} = 0 & \mathrm{Gilbert} \\
   \mathrm{M4} & \operatorname{rot} \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \frac{ 1 }{ c^2 } \mathbf{\dot E} & \mathrm{Ampere + Maxwell} \\
 \end{array}
$

oder in Materie

$ 
 \begin{array}{lll}
   \mathrm{M1} & \operatorname{div} \mathbf{D} = \rho \\
   \mathrm{M2} & \operatorname{rot} \mathbf{E} = - \mathbf{\dot B} \\
   \mathrm{M3} & \operatorname{div} \mathbf{B} = 0 \\
   \mathrm{M4} & \operatorname{rot} \mathbf{H} = \mathbf{j} + \mathbf{\dot D} \\
 \end{array}
$

Categories: Physik