Vektoranalysis ed
allgemeines ed
Der Raum sei \( M = \mathbb{R}^n \) mit dem kanonischen Skalarprodukt. Somit sind ko- und kovariante Koordinaten identisch.
In diesen Koordinaten ist das Kreuzprodukt\[ a \times b = - b \times a = c = \left( \begin{array}{c} a^2 b^3 - a^3 b^2 \\ a^3 b^1 - a^1 b^3 \\ a^1 b^2 - a^2 b^1 \end{array} \right) \]oder \( c^i = \epsilon_{ijk} a^j b^k \). Damit gilt auch \( a \times ( b \times c ) = b ( a \cdot c ) - c ( a \cdot b ) \) ("BAC-CAB").
Differentialoperatoren ed
Divergenz ed
Sei \( V \) ein Vektorfeld.
Die Divergenz \( div V = \partial_i V^i = \bigtriangledown \cdot V \) gibt die "Quellstärke" an. Sie ist ein Skalarfeld.
Gradient ed
Sei \( \phi \) ein Skalarfeld.
Der Gradient ist \( \operatorname{grad} \phi = ( \partial_i \phi ) = \bigtriangledown \phi \). Sie ist ein (kovariantes) Vektorfeld, das in Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion zeigt, senkrecht zu den Flächen, auf denen die Funktion konstant ist.
Rotation ed
Sei \( V \) ein Vektorfeld.
Die Rotation ist allgemein \( \operatorname{rot} V = ( \partial_i V_j - \partial_j V_i ) \) und somit ein kovarianter und antisymmetrischer Tensor 2. Stufe.
Im Falle des \( \mathbb{R}^3 \) wird diesem Operator ein Vektorfeld zugeordnet: \( \operatorname{rot} V = ( \epsilon^{ijk} \partial_j V_k ) = \bigtriangledown \times V \). Es gibt die "Wirbelstärke" des Feldes an, in etwa die Drehachsen der Wirbel.
Laplace ed
Sei \( \phi \) ein Skalarfeld.
\( \bigtriangleup \phi = \partial^i \partial_i \phi = \bigtriangledown^2 \phi \) ist wieder ein Skalarfeld.
Richtungsableitung ed
Sei \( \phi \) ein Skalarfeld (funktioniert auch mit Vektorfeldern komponentenweise).
Die Richtungsableitung in Richtung \( n \) ist \( D_n \phi = n^i \partial_i \phi = n \cdot \operatorname{grad} \phi = n \cdot \bigtriangledown \phi \)
Folgerungen ed
\[ \operatorname{div} \operatorname{grad} \phi = \bigtriangleup \phi \]
\[ \operatorname{rot} ( \phi V ) = \phi \operatorname{div} V + V \cdot \operatorname{grad} \phi \]
\[ \operatorname{div} \operatorname{rot} V = 0 \]
\[ \operatorname{rot} \operatorname{grad} \phi = 0 \]
\[ \operatorname{grad} \operatorname{div} V = \bigtriangleup V + \operatorname{rot} \operatorname{rot} V \]