intuitive Hamiltonsche Feldmechanik ed

Ausgangspunkt ed

Punktmechanik ed

Lagrange-Mechanik ed

Seien \( q^i \) die Koordinaten (Freiheitsgrade) eines Systems und \( L ( q^i , \dot q^i ) \) die Lagrange-Funktion. Dann wird die Dynamik durch die Euler-Lagrange-Gleichungen beschrieben:

\( \frac{ d }{ dt } \frac{ \partial L }{ \partial \dot q^i } = \frac{ \partial L }{ \partial q^i } \)

Die Lösung der Gleichungen minimiert das Wirkungs-Funktional

\( S [ q^i ] := \int_{t_a}^{t_b} L ( q^i , \dot q^i ) dt \)

Hamilton-Mechanik ed

Man definiert die zu \( q^i \) konjugierten Impulse als \( p_i := \frac{ \partial L }{ \partial q^i } \)

Zur Hamiltonfunktion gelangt man über eine Legendre-Transformation von \( L \) der Form

\( H ( q^i , p_i ) := p_i \dot q^i - L ( q^i , p_i ) \)

Dies vereinfacht das DGL-System 2. Ordnung (die Euler-Lagrange-Gleichungen) zu einem DGL-System 1. Ordnung, das aber die doppelte Anzahl an Variablen besitzt. Dies sind die Kanonischen Gleichungen:

\( \dot q^i = \frac{ \partial H }{ \partial p_i } \)

\( \dot p^i = - \frac{ \partial H }{ \partial q_i } \)

Anmerkung ed

Auch die Euler-Lagrange-Gleichungen können mit den Impulsen in eine den kanonischen Gleichungen ähnliche Form umgeschrieben werden:

\( p_i = \frac{ \partial L }{ \partial \dot q^i } \) (Definition von p)

\( \dot p_i = \frac{ \partial L }{ \partial q_i } \) (Euler-Lagrange-Gleichungen)

Diese besitzen aber nicht den Vorteil, nur von 1. Ordnung zu sein.

Feldmechanik ed

Lagrange ed

In der Feldmechanik geht man über von den Koordinaten bzw. der Lösungsbahn eines Teilchens \[ q^i ( t ) \] zu Feldern \[ \phi^i ( \vec r , t ) = \phi^i ( x^\mu ) = \phi^i ( x ) \].

Außerdem wird aus der Lagrange-Funktion \[ L ( q^i , \dot q^i ) \] die Lagrange-Dichte \[ \mathcal L ( \phi^i , \partial_\mu \phi^i ) \]. Das zu minimierende Wirkungs-Funktional ist hierbei ein Integral über ein Raum-Zeit-Gebiet

\[ S = \int_{\Omega} \mathcal L ( \phi^i , \partial_\mu \phi^i ) d^nx \]

Daraus ergeben sich die Euler-Lagrange-Gleichungen für Felder:

\[ \partial_\mu \frac{ \partial \mathcal L }{ \partial ( \partial_\mu \phi^i ) } = \frac{ \partial \mathcal L }{ \partial \phi^i } \]

Hamilton ed

Der übliche Weg, konjugierte Impulse zu definieren, ist

\[ \Pi_i := \frac{ \partial L }{ \partial \dot \phi^i } \]

wobei \[ L := \int_{\mathrm{Raum}} \mathcal L \, dV \].

Die Hamilton-Funktion hierzu ist dann

\[ \mathcal H ( \phi^i , \Pi_i ) = \Pi_i \dot \phi^i - \mathcal L ( \phi^i , \partial_\mu \phi^i ) \]

mein Vorschlag ed

Kritik ed

Die Feldmechanik in Lagrange-Formulierung ist relativistisch kovariant. erst die Hamilton-Formulierung nimmt die Zeit wieder als ausgezeichnete Größe an, über deren Ableitung die Legendre-Transformation vollzogen wird.

Idee ed

Eine intuitivere Definition der Impulse wäre

\[ \pi^\mu_{\ i} := \frac{ \partial \mathcal L }{ \partial ( \partial_\mu \phi^i ) } \]

Hierdurch würden die Lagrange-Gleichungen wieder die Form \[ \partial_\mu \pi^\mu_i = \frac{ \partial \mathcal L }{ \partial \phi^i } \] annehmen.

Eine "Hamilton-Dichte" lässt sich dann schreiben als eine Legendre-Transformation der Lagrange-Dichte in allen 4 Raum-Zeit-Koordinaten:

\[ \mathcal H ( \phi^i , \pi^\mu_i ) = \pi^\mu_i \partial_\mu \phi^i - \mathcal L ( \phi^i , \pi^\mu_i ) \]

Damit sähen die kanonischen Gleichungen wie folgt aus:

\[ \partial_\mu \phi^i = \frac{ \partial \mathcal H }{ \partial \pi^\mu_i } \]

\[ \partial_\mu \pi^\mu_i = \frac{ \partial \mathcal H }{ \partial \phi^i } \]

Beispiel: Klein-Gordon ed

(reelles Feld...)

Differentialformen ed

Lagrange-Dichte:

\[ \mathcal{L}(\phi, d\phi) = \frac{1}{2} d\phi \wedge \star d\phi - \frac{1}{2} m^2 \star \phi^2 \]

Minimiere Wirkung (modulo Vorzeichen):

\[ 0 = \partial_\epsilon S[\phi + \epsilon \Psi] = \int_M d\Psi \wedge \star d\phi + m^2 \star \phi \Psi = \int_M \Psi \cdot d \star d\phi + m^2 \star \phi \Psi - \int_{\partial M} \dots \]

\[ \Rightarrow \Delta \psi = m^2 \psi \]

Hamilton

\[ \pi = \frac{\partial \mathcal L}{\partial d\phi} = \star d\phi \]

\[ \mathcal H = \pi \wedge d\phi - \mathcal L = \frac{1}{2} \pi \wedge \star \pi + \frac{1}{2} m^2 \star \phi^2 \]

Kanonische Gleichungen:

\[ d\phi = \frac{\partial \mathcal H}{\partial \pi} = \star \pi, \quad d\pi = - \frac{\partial \mathcal H}{\partial \phi} = m^2 \phi \]

Beispiel: Maxwell ed

Tensoren ed

Die Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes ist

\( \mathcal L ( A^\mu , \partial_\mu A^\nu ) = - \frac 14 F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} - j_\mu A^\mu \)

mit \( F^{\mu \nu} := \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \) und dem Potential \( A^\mu \) . Daraus folgt

\( \pi^{\mu\nu} = \frac{\partial \mathcal L}{\partial ( \partial_\mu A_\nu ) } = - F^{\mu \nu} \)

Problem: \( \partial_\mu A^\nu \) lässt sich nicht durch \( \pi^{\mu \nu} \) ausdrücken. m(-_-)m

Differentialformen ed

3-Form \[j\]

Lagrange

\[ \mathcal L(A, dA) = \frac 12 dA \wedge \star dA - j \wedge A \]

Minimiere Wirkung:

\[ \partial_\epsilon S[A + \epsilon \Psi] = \int_M d\Psi \wedge \star dA - j \wedge \Psi = \int_M \Psi \wedge d \star dA - j \wedge \Psi - \int_{\partial M} \dots \]

\[ \Rightarrow d\star F = j \]

Hamilton

\[ \pi = \frac{\partial \mathcal L}{\partial dA} = \star dA \]

\[ \mathcal H = \pi \wedge dA - \mathcal L = \frac 12 \pi \wedge \star \pi + j \wedge A \]

Kanonische Gleichungen:

\[ dA = \frac{\partial \mathcal H}{\partial \pi} = \star \pi, \quad d\pi = - \frac{\partial \mathcal H}{\partial A} = j \]

\[ \Rightarrow d\star F = j \]

Allgemein ed

Lagrange

\[ S[\omega] = \int_\Omega \mathcal L \]

Minimiere:

\[ 0 = \partial_\epsilon S[\omega + \epsilon \Psi] = \int_\Omega \partial_\epsilon \mathcal L(\omega + \epsilon \Psi, d\omega + \epsilon d\Psi) \]

\[ \quad = \int_\Omega \frac{\partial \mathcal L}{\partial \omega} \wedge \Psi + \frac{\partial \mathcal L}{\partial d\omega} \wedge d\Psi = \int_\Omega \frac{\partial \mathcal L}{\partial \omega} \wedge \Psi \pm \int_\Omega d\frac{\partial \mathcal L}{\partial d\omega} \wedge \Psi \pm \int_{\partial \Omega} \frac{\partial \mathcal L}{\partial d\omega} \wedge \Psi \]

\[ \Rightarrow \quad \frac{\partial \mathcal L}{\partial \omega} \pm d\frac{\partial \mathcal L}{\partial d\omega} = 0 \]

Außerdem...bla bla bla...

\[ \mathcal L = \omega \wedge \mu = \langle \omega, \star \mu \rangle \star 1, \quad \Rightarrow \frac{\partial \mathcal L}{\partial \omega} = \mu \]

Hamilton

\[ \pi = \frac{\partial \mathcal L}{\partial d\omega} \]

\[ \mathcal H = \pi \wedge d\omega - \mathcal L \]

Kanonische Gleichungen:

\[ d\omega = \frac{\partial \mathcal H}{\partial \pi}, \quad d\pi = - \frac{\partial \mathcal H}{\partial \omega} \]

Poisson-Klammern ed

Seien \[f(\omega, \pi)\] eine s-Form und \[g(\omega, \pi)\] eine t-Form. Dann definiere

\[ \{f, g\} = \frac{\partial f}{\partial \omega} \wedge \frac{\partial g}{\partial \pi} - \frac{\partial f}{\partial \pi} \wedge \frac{\partial g}{\partial \omega} \]

Mit \[\omega\] einer k-Form und \[\pi\] einer \[(n-k-1)\]-Form ist \[\{f,g\}\] eine \[(s-k) + (t-(n-k-1)) = s+t -n +1\] Form.

Es gilt:

\[ \{\omega, \mathcal H\} = \frac{\partial \omega}{\partial \omega} \wedge \frac{\partial \mathcal H}{\partial \pi} - \frac{\partial \omega}{\partial \pi} \wedge \frac{\partial \mathcal H}{\partial \omega} = 1 \wedge d\omega - 0 \wedge \dots = d\omega \]

\[ \{\pi, \mathcal H\} = \frac{\partial \pi}{\partial \omega} \wedge \frac{\partial \mathcal H}{\partial \pi} - \frac{\partial \pi}{\partial \pi} \wedge \frac{\partial \mathcal H}{\partial \omega} = 0 \wedge \dots - 1 \wedge (- d\pi) = d\pi \]

\[ \{\omega, \omega\} = \frac{\partial \omega}{\partial \omega} \wedge \frac{\partial \omega}{\partial \pi} - \frac{\partial \omega}{\partial \pi} \wedge \frac{\partial \omega}{\partial \omega} = 1 \wedge 0 - 0 \wedge 1 = 0 = \{\pi, \pi\} \]

\[ \{\omega, \pi\} = \frac{\partial \omega}{\partial \omega} \wedge \frac{\partial \pi}{\partial \pi} - \frac{\partial \omega}{\partial \pi} \wedge \frac{\partial \pi}{\partial \omega} = 1 \wedge 1 - 0 \wedge 0 = 1 \] (0-Form)

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