intuitive Hamiltonsche Feldmechanik ed

Hilfreich: Ableitungen von Differentialform-Funktionen

Ausgangspunkt ed

Punktmechanik ed

siehe Lagrangian mechanics, Hamiltonian mechanics

Anmerkung

Auch die Euler-Lagrange-Gleichungen können mit den Impulsen in eine den kanonischen Gleichungen ähnliche Form umgeschrieben werden:

\( p_i = \frac{ \partial L }{ \partial \dot q^i } \) (Definition von p)

\( \dot p_i = \frac{ \partial L }{ \partial q_i } \) (Euler-Lagrange-Gleichungen)

Diese besitzen aber nicht den Vorteil, nur von 1. Ordnung zu sein.

Feldmechanik ed

Lagrange ed

siehe Lagrangian field theory

Hamilton ed

Der übliche Weg, konjugierte Impulse zu definieren, ist

\[ \Pi_i := \frac{ \partial L }{ \partial \dot \phi^i } \]

wobei \[ L := \int_{\mathrm{Raum}} \mathcal L \, dV \].

Die Hamilton-Funktion hierzu ist dann

\[ \mathcal H ( \phi^i , \Pi_i ) = \Pi_i \dot \phi^i - \mathcal L ( \phi^i , \partial_\mu \phi^i ) \]

mein Vorschlag ed

Kritik ed

Die Feldmechanik in Lagrange-Formulierung ist relativistisch kovariant. erst die Hamilton-Formulierung nimmt die Zeit wieder als ausgezeichnete Größe an, über deren Ableitung die Legendre-Transformation vollzogen wird.

Idee ed

Eine intuitivere Definition der Impulse wäre

\[ \pi^\mu_{\ i} := \frac{ \partial \mathcal L }{ \partial ( \partial_\mu \phi^i ) } \]

Hierdurch würden die Lagrange-Gleichungen wieder die Form \[ \partial_\mu \pi^\mu_i = \frac{ \partial \mathcal L }{ \partial \phi^i } \] annehmen.

Eine "Hamilton-Dichte" lässt sich dann schreiben als eine Legendre-Transformation der Lagrange-Dichte in allen 4 Raum-Zeit-Koordinaten:

\[ \mathcal H ( \phi^i , \pi^\mu_i ) = \pi^\mu_i \partial_\mu \phi^i - \mathcal L ( \phi^i , \pi^\mu_i ) \]

Damit sähen die kanonischen Gleichungen wie folgt aus:

\[ \partial_\mu \phi^i = \frac{ \partial \mathcal H }{ \partial \pi^\mu_i } \]

\[ \partial_\mu \pi^\mu_i = - \frac{ \partial \mathcal H }{ \partial \phi^i } \]

Beispiel: Klein-Gordon ed

(reelles Feld...)

Beispiel: Maxwell ed

Tensoren ed

Die Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes ist

\( \mathcal L ( A^\mu , \partial_\mu A^\nu ) = - \frac 14 F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} - j_\mu A^\mu \)

mit \( F^{\mu \nu} := \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \) und dem Potential \( A^\mu \) . Daraus folgt

\( \pi^{\mu\nu} = \frac{\partial \mathcal L}{\partial ( \partial_\mu A_\nu ) } = - F^{\mu \nu} \)

Problem: \( \partial_\mu A^\nu \) lässt sich nicht durch \( \pi^{\mu \nu} \) ausdrücken. m(-_-)m