intuitive Hamiltonsche Feldmechanik ed

Ausgangspunkt ed

Punktmechanik ed

Lagrange-Mechanik ed

Seien \( q^i \) die Koordinaten (Freiheitsgrade) eines Systems und \( L ( q^i , \dot q^i ) \) die Lagrange-Funktion. Dann wird die Dynamik durch die Euler-Lagrange-Gleichungen beschrieben:

\( \frac{ d }{ dt } \frac{ \partial L }{ \partial \dot q^i } = \frac{ \partial L }{ \partial q^i } \)

Die Lösung der Gleichungen minimiert das Wirkungs-Funktional

\( S [ q^i ] := \int_{t_a}^{t_b} L ( q^i , \dot q^i ) dt \)

Hamilton-Mechanik ed

Man definiert die zu \( q^i \) konjugierten Impulse als \( p_i := \frac{ \partial L }{ \partial q^i } \)

Zur Hamiltonfunktion gelangt man über eine Legendre-Transformation von \( L \) der Form

\( H ( q^i , p_i ) := p_i \dot q^i - L ( q^i , p_i ) \)

Dies vereinfacht das DGL-System 2. Ordnung (die Euler-Lagrange-Gleichungen) zu einem DGL-System 1. Ordnung, das aber die doppelte Anzahl an Variablen besitzt. Dies sind die Kanonischen Gleichungen:

\( \dot q^i = \frac{ \partial H }{ \partial p_i } \)

\( \dot p^i = - \frac{ \partial H }{ \partial q_i } \)

Anmerkung ed

Auch die Euler-Lagrange-Gleichungen können mit den Impulsen in eine den kanonischen Gleichungen ähnliche Form umgeschrieben werden:

\( p_i = \frac{ \partial L }{ \partial \dot q^i } \) (Definition von p)

\( \dot p_i = \frac{ \partial L }{ \partial q_i } \) (Euler-Lagrange-Gleichungen)

Diese besitzen aber nicht den Vorteil, nur von 1. Ordnung zu sein.

Feldmechanik ed

Lagrange ed

In der Feldmechanik geht man über von den Koordinaten bzw. der Lösungsbahn eines Teilchens \( q^i ( t ) \) zu Feldern \( \phi^i ( \vec r , t ) = \phi^i ( x^\mu ) = \phi^i ( x ) \) .

Außerdem wird aus der Lagrange-Funktion \( L ( q^i , \dot q^i ) \) die Lagrange-Dichte \( \mathfrak l ( \phi^i , \partial_\mu \phi^i ) \) (sollte ein Schreibschrift L sein, aber leider das vom neuen Latex-Interpreter nicht mehr unterstützt). Das zu minimierende Wirkungs-Funktional ist hierbei ein Integral über ein Raum-Zeit-Gebiet

\( \mathfrak A := \int_{\Omega} \mathfrak l ( \phi^i , \partial_\mu \phi^i ) d^nx \)

Daraus ergeben sich die Euler-Lagrange-Gleichungen für Felder:

\( \partial_\mu \frac{ \partial \mathfrak l }{ \partial ( \partial_\mu \phi^i ) } = \frac{ \partial \mathfrak l }{ \partial \phi^i } \)

Hamilton ed

Der übliche Weg, konjugierte Impulse zu definieren, ist

\( \Pi_i := \frac{ \partial L }{ \partial \dot \phi^i } \)

wobei \( L := \int_{\mathrm{Raum}} \mathfrak l \, dV \) .

Die Hamilton-Funktion hierzu ist dann

\( \mathfrak H ( \phi^i , \nabla \phi^i , \Pi_i ) = \Pi_i \dot \phi^i - \mathfrak l ( \phi^i , \partial_\mu \phi^i ) \)

mein Vorschlag ed

Kritik ed

Die Feldmechanik in Lagrange-Formulierung ist relativistisch kovariant. erst die Hamilton-Formulierung nimmt die Zeit wieder als ausgezeichnete Größe an, über deren Ableitung die Legendre-Transformation vollzogen wird.

Idee ed

Eine intuitivere Definition der Impulse wäre

\( \pi^\mu_{\ i} := \frac{ \partial \mathfrak l }{ \partial ( \partial_\mu \phi^i ) } \)

Hierdurch würden die Lagrange-Gleichungen wieder die Form \( \partial_\mu \pi^\mu_i = \frac{ \partial \mathfrak l }{ \partial \phi^i } \) annehmen.

Eine "Hamilton-Dichte" lässt sich dann schreiben als eine Legendre-Transformation der Lagrange-Dichte in allen 4 Raum-Zeit-Koordinaten:

\( \mathfrak h ( \phi^i , \pi^\mu_i ) = \pi^\mu_i \partial_\mu \phi^i - \mathfrak l ( \phi^i , \pi^\mu_i ) \)

Damit sähen die kanonischen Gleichungen wie folgt aus:

\( \partial_\mu \phi^i = \frac{ \partial \mathfrak h }{ \partial \pi^\mu_i } \)

\( \partial_\mu \pi^\mu_i = \frac{ \partial \mathfrak h }{ \partial \phi^i } \)

Problem ed

Dies sind wahrscheinlich zu wenige Gleichungen um das Problem eindeutig zu lösen...

Beispiel ed

Die Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes ist

\( \mathfrak l ( A^\mu , \partial_\mu A^\nu ) = - \frac 14 F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} - j_\mu A^\mu \)

mit \( F^{\mu \nu} := \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \) und dem Potential \( A^\mu \)