intuitive Hamiltonsche Feldmechanik ed
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Ausgangspunkt ed
Punktmechanik ed
Seien \( q^i \) die Koordinaten (Freiheitsgrade) eines Systems und \( L ( q^i , \dot q^i ) \) die Lagrange-Funktion. Dann wird die Dynamik durch die Euler-Lagrange-Gleichungen beschrieben:
$ \frac{ d }{ dt } \frac{ \partial L }{ \partial \dot q^i } = \frac{ \partial L }{ \partial q^i } $ Man definiert die zu \( q^i \) konjugierten Impulse als \( p_i := \frac{ \partial L }{ \partial q^i } \)
Zur Hamiltonfunktion gelangt man über eine Legendre-Transformation von \( L \) der Form
$ H ( q^i , p_i ) := p_i \dot q^i - L ( q^i , p_i ) $
Dies vereinfacht das DGL-System 2. Ordnung (die Euler-Lagrange-Gleichungen) zu einem DGL-System 1. Ordnung, das aber die doppelte Anzahl an Variablen besitzt. Dies sind die Kanonischen Gleichungen:
$ \dot q^i = \frac{ \partial H }{ \partial p_i } $ $ \dot p^i = - \frac{ \partial H }{ \partial q_i } $ Anmerkung ed
Auch die Euler-Lagrange-Gleichungen können mit den Impulsen in eine den kanonischen Gleichungen ähnliche Form umgeschrieben werden:
$ p_i = \frac{ \partial L }{ \partial \dot q^i } $ (Definition von p)$ \dot p_i = \frac{ \partial L }{ \partial q_i } $ (Euler-Lagrange-Gleichungen)Diese besitzen aber nicht den Vorteil, nur von 1. Ordnung zu sein.