ein paar Gedanken zur Quantenmechanik ed

Dichteoperator ed

grundsätzliches ed

Der Dichteoperator eines reinen Zustandes \( | \psi \rangle \) ist \( \rho = | \psi \rangle \langle \psi | \) .

Der Erwartungswert eines Operators \( A \) ist \( \langle A \rangle = \mathrm{Sp} ( A \rho ) \) .

Michi'sches Theorem

\( \left[ A , \rho \right] = 0 \Rightarrow \rho \) beschreibt einen Eigenzustand zu \( A \) .

Beweis...ohne entartete Eigenwerte leicht... Entartung eigentlich auch...

von Neumann-Gleichung

\( \dot \rho = \frac i \hbar \left[ \rho , H \right ] \)

eine kleine Folgerung

für stationäre Zustände (Lösungen der stationären Schrödingergleichung) gilt \( \left[ \rho , H \right] = 0 \)

Informationsverlust ed

Der Dichteoperator besitzt keine Information mehr über die Phase des Zustandes

$  | \xi \rangle := | \psi \rangle e^{ i \phi } \Rightarrow \rho_\xi = | \xi \rangle \langle \xi | = | \psi \rangle e^{ i \phi } e^{ - i \phi } \langle \psi | = | \psi \rangle \langle \psi | = \rho_\psi  $ 

Beispiel:

Für stationäre Zustände galt wegen der von Neumann-Gleichung: \( \dot \rho = 0 \) , allerdings rotiert der Zustandsvektor in der komplexen Ebene mit einer Frequenz propotional zur Energie.