ein paar Gedanken zur Quantenmechanik ed
Dichteoperator ed
grundsätzliches ed
Der Dichteoperator eines reinen Zustandes \( | \psi \rangle \) ist \( \rho = | \psi \rangle \langle \psi | \) .
Der Erwartungswert eines Operators \( A \) ist \( \langle A \rangle = \mathrm{Sp} ( A \rho ) \) .
- Michi'sches Theorem
- \( \left[ A , \rho \right] = 0 \Rightarrow \rho \) beschreibt einen Eigenzustand zu \( A \) .
Beweis...ohne entartete Eigenwerte leicht... Entartung eigentlich auch...
- von Neumann-Gleichung
- \( \dot \rho = \frac i \hbar \left[ \rho , H \right ] \)
eine kleine Folgerung
- für stationäre Zustände (Lösungen der stationären Schrödingergleichung) gilt \( \left[ \rho , H \right] = 0 \)
Informationsverlust ed
- Der Dichteoperator besitzt keine Information mehr über die Phase des Zustandes
$ | \xi \rangle := | \psi \rangle e^{ i \phi } \Rightarrow \rho_\xi = | \xi \rangle \langle \xi | = | \psi \rangle e^{ i \phi } e^{ - i \phi } \langle \psi | = | \psi \rangle \langle \psi | = \rho_\psi $ Beispiel:
Für stationäre Zustände galt wegen der von Neumann-Gleichung: \( \dot \rho = 0 \) , allerdings rotiert der Zustandsvektor in der komplexen Ebene mit einer Frequenz propotional zur Energie.
Messdynamik ed
- Postulat der Quantenmechanik
- bei der Messung durch einen Operator \( A \) geht das System \( | \psi \rangle \) in einen Eigenzustand \( | a_m \rangle \) zu diesem Operator über. Dieser wird aus der Menge der Eigenzustände \( \left\{ | a_i \rangle \right\} \) des Operators zufällig ausgewählt, wobei die Wahrscheinlichkeiten gegeben sind durch \( | \langle a_i | \psi \rangle |^2 \) und der Messwert ist der Eigenwert des gewählten Eigenzustandes.
- Michi'sche Hoffnung
- vielleicht kann der Zufall durch einen deterministischen Wahlprozess ersetzt werden... mein Vorschlag wäre, dass der Messprozess eine endliche Messdauer besitzt und eine ähnliche Wirkung besitzt, wie ein gedämpfter Oszillator, dessen Lösung asymtotisch konstant wird. Die verschiedenen möglichen Messwerte (Eigenzustände) entsprechen dann mehreren Attraktoren der Differentialgleichung. Ist das System hinreichend chaotisch, ist das Endergebnis der Messung zu stark von den exakten Anfangsbedingungen abhängig und es kann nicht das Ergebnis wirkt zugällig.