abgefahrene Physik:Begriffe ed
Table of Contents
Holonomie ed
Einer geschlossene Kurve \( \gamma \) Manigfaltigkeit \( M \) durch den Punkt \( p \) kann eine (lineare) Abbildung \( h_\gamma : T_pM \rightarrow T_pM \) zugeordnet werden, die den Paralleltransport eines Tangentialvektors entlang der Kurve beschreibt. Die Menge aller Holonomien in \( p \) hat Gruppeneigenschaften, wenn als Multiplikation das Zusammenfügen von Kurven definiert wird. Die Holonomie-Gruppe ist \( Hol_p ( abla ) := \{ h_\gamma \in GL(T_pM) | \forall \gamma \ \mathrm{durch} \ p \} \) . ( \( abla \) ist der Zusammenhang)
C*-Algebra ed
Eine Algebra \( \mathfrak A \) mit einer zusätzlichen Operation \( \star : \mathfrak A \rightarrow \mathfrak A \) mit ( \( x,y \in \mathfrak A, c \in \mathbb C \) ):
- \( (x^\star)^\star = x \)
- \( (y \cdot x)^\star = y^\star \cdot x^\star \)
- \( (x + y)^\star = x^\star + y^\star \)
- \( (c \cdot x)^\star = \bar c \cdot x^\star \)
- \( \| x \cdot x^\star \| = \|x\|^2 \)
Lie-Algebra ed
Ein Vektorraum mit einer Lie-Klammer (bilinear, antikommutativ, Jakobi-Identität). Einige Konstruktionen:
- \( \operatorname{ad}_x(y) := [ x, y] \) (die adjungierte Operation)
- \( [ e^i, e^j ] = c^{ij}_k e^k \) (Struktur-Konstanten \( c^{ij}_k \) zu einer Basis \( e_i \) ). Daraus ergibt sich die Darstellung \( ( \operatorname{ad}_{e^i} )_k^j = c^{ij}_k \)
- \( B(x,y) := \operatorname{tr} ( \operatorname{ad}_x \cdot \operatorname{ad}_y ) \) die Killing-Form (bilinear, symmetrisch)
Weyl-Algebra ed
Die Algebra der Differential-Operatoren in einer Variablen \( x \) der Form
$ \sum_{k=0}^n f_k(x) \partial^k = f_n(x) \partial^n + \cdots + f_1(x) \partial + f_0(x) $ wobei \( f_k(x) \) Polynome in \( x \) sind. ....wird generiert von \( x, \partial \) ... n-te Weyl-Algebra ist das selbe in n Variablen...