Vektoranalysis ed
allgemeines ed
Der Raum sei \( M = \mathbb{R}^n \) mit dem kanonischen Skalarprodukt. Somit sind ko- und kovariante Koordinaten identisch.
In diesen Koordinaten ist das Kreuzprodukt
$ a \times b = - b \times a = c =
\left( \begin{array}{c}
a^2 b^3 - a^3 b^2 \\
a^3 b^1 - a^1 b^3 \\
a^1 b^2 - a^2 b^1
\end{array} \right)
$ Differentialoperatoren ed
Divergenz ed
Sei \( V \) ein Vektorfeld.
Die Divergenz \( div V = \partial_i V^i = \bigtriangledown \cdot V \) gibt die "Quellstärke" an. Sie ist ein Skalarfeld.
Gradient ed
Sei \( \phi \) ein Skalarfeld.
Der Gradient ist \( \operatorname{grad} \phi = ( \partial_i \phi ) = \bigtriangledown \phi \) . Sie ist ein (kovariantes) Vektorfeld, das in Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion zeigt, senkrecht zu den Flächen, auf denen die Funktion konstant ist.
Rotation ed
Sei \( V \) ein Vektorfeld.
Die Rotation ist allgemein \( \operatorname{rot} V = ( \partial_i V_j - \partial_j V_i ) \) und somit ein kovarianter und antisymmetrischer Tensor 2. Stufe.
Im Falle des \( \mathbb{R}^3 \) wird diesem Operator ein Vektorfeld zugeordnet: \( \mathoperator{rot} V = ( \epsilon^{ijk} \partial_j V_k ) = \bigtriangledown \times V \) . Es gibt die "Wirbelstärke" des Feldes an, in etwa die Drehachsen der Wirbel.
Laplace ed
Sei \( \phi \) ein Skalarfeld.
$ \bigtriangleup \phi = \partial^i \partial_i \phi = \bigtriangledown^2 \phi $ ist wieder ein Skalarfeld.
Richtungsableitung ed
Sei \( \phi \) ein Skalarfeld (funktioniert auch mit Vektorfeldern komponentenweise).
Die Richtungsableitung in Richtung \( n \) ist \( D_n \phi = n^i \partial_i \phi = n \cdot \operatorname{grad} \phi = n \cdot \bigtriangledown \phi \)
Folgerungen ed
$ \operatorname{div} \operatorname{grad} \phi = \bigtriangleup \phi $ $ \operatorname{rot} ( \phi V ) = \phi \operatorname{div} V + V \cdot \operatorname{grad} \phi $ $ \operatorname{div} \operatorname{rot} V = 0 $ $ \operatorname{rot} \operatorname{grad} \phi = 0 $ $ \operatorname{grad} \operatorname{div} V = \bigtriangleup V + \operatorname{rot} \operatorname{rot} V $