Tensoren ed

Tensoren verallgemeinern Vektoren und Skalare...

Vektoren, Skalare ed

Vektoren ed

Gehen wir von einem Vektorraum \( V \) über dem Körper \( \mathbb{R} \) aus.

Wird eine Basis \( \lbrace e_i \rbrace \) von \( v \in V \) gewählt, kann jeder Vektor in Koordinaten entwickelt werden: \( v = \sum_{i} v^i e_i = v^i e_i \) (Einsteinsche Summenkonvention, \( v^i \in \mathbb{R} \) ).

Dualvektoren ed

Definition (Dualvektorraum)

\( V^\ast \) sei die Menge der linearen Funktionen von \( V \) nach \( \mathbb{R} \) :

\( V^\ast := \left\lbrace f \big\vert f : V \rightarrow \mathbb{R} , \mathrm{linear} \right\rbrace \)

Der Dualraum ist ebenfalls ein \( \mathbb{R} \) -Vektorraum und sogar isomorph zu \( V \) (also auch von gleicher Dimension).

Auch hier kann eine Basis \( \lbrace e^i \rbrace \) gewählt werden, wodurch eine Koordinatenentwicklung möglich ist: \( f = f_i e^i \) ( \( e^i \in \mathbb{R} \) ).

Da 2 frei wählbare Basen aber eine zu viel sind, ist es praktisch, die Dualbasis durch die Basis des Vektorraums \( V \) festzulegen (kanonische Dualbasis) über \( e^i ( e_j ) = \delta^i_j \) . Hieraus folgt: \( f ( v ) = ( f_i e^i ) ( v^j e_j ) = f_i v^j e^i ( e_j ) = f_i v^j \delta^i_j = f_i v^i \) . Da die linke Seite hierbei basisunabhängig definiert ist, muss es auch die rechte Seite sein! (Das deutet die große Macht der Einsteinschen Summenkonvention an)

Zusätzlich ist folgende Definition nützlich: \( v ( f ) := f ( v ) \) (Gleichberechtigung zwischen Vektoren und Dualvektoren). Die Basisentwicklung \( v^i = e^i ( v ) \) gilt dann auch für Dualvektoren: \( f_i = e_i ( f ) \) .

Metrik ed