Tensoren ed

Tensoren verallgemeinern Vektoren und Skalare...

Vektoren, Skalare ed

Vektoren ed

Gehen wir von einem Vektorraum \( V \) über dem Körper \( \mathbb{R} \) aus. Um Verwechslungen zu vermeiden, werden Vektoren mit Vektorpfeil geschrieben: \( \vec{v} \in V \) .

Wird eine Basis \( \lbrace \vec{e}_i \rbrace \) von \( \vec{v} \in V \) gewählt, kann jeder Vektor in Koordinaten entwickelt werden: \( \vec{v} = \sum_{i} v^i \vec{e}_i = v^i \vec{e}_i \) (Einsteinsche Summenkonvention, \( v^i \in \mathbb{R} \) ).

Dualvektoren ed

Definition (Dualvektorraum)

\( V^\ast \) sei die Menge der linearen Funktionen von \( V \) nach \( \mathbb{R} \) :

\( V^\ast := \left\lbrace \tilde{f} \big\vert \tilde{f} : V \rightarrow \mathbb{R} , \mathrm{linear} \right\rbrace \)

Der Dualraum ist ebenfalls ein \( \mathbb{R} \) -Vektorraum und sogar isomorph zu \( V \) (also auch von gleicher Dimension).

Auch hier kann eine Basis \( \lbrace \tilde{e}^i \rbrace \) gewählt werden, wodurch eine Koordinatenentwicklung möglich ist: \( \tilde{f} = f_i \tilde{e}^i \) ( \( f_i \in \mathbb{R} \) ).

Da 2 frei wählbare Basen aber eine zu viel sind, ist es praktisch, die Dualbasis durch die Basis des Vektorraums \( V \) festzulegen (kanonische Dualbasis) über \( \tilde{e}^i ( \vec{e}_j ) = \delta^i_j \) . Hieraus folgt: \( \tilde{f} ( \vec{v} ) = ( f_i \tilde{e}^i ) ( v^j \vec{e}_j ) = f_i v^j \tilde{e}^i ( \vec{e}_j ) = f_i v^j \delta^i_j = f_i v^i \) . Da die linke Seite hierbei basisunabhängig definiert ist, muss es auch die rechte Seite sein! (Das deutet die große Macht der Einsteinschen Summenkonvention an)

Zusätzlich ist folgende Definition nützlich: \( \vec{v} ( \tilde{f} ) := \tilde{f} ( \vec{v} ) \) (Gleichberechtigung zwischen Vektoren und Dualvektoren). Die Basisentwicklung \( v^i = \tilde{e}^i ( \vec{v} ) \) gilt dann auch für Dualvektoren: \( f_i = \vec{e}_i ( \tilde{f} ) \) .

Metrik ed

Bisher besitzen die Vektorräume noch kein Skalarprodukt. Es existiert aber eine kanonische, bilineare Abbildung \( I : V^\ast \times V \rightarrow \mathbb{R}, ( \tilde{f} , \vec{v} ) \mapsto I ( \tilde{f} , \vec{v} ) := \tilde{f} ( \vec{v} ) \) . Diese könnte zu einem Skalarprodukt der Vektorräume ausgebaut werden, falls eine Isomorphie zwischen Vektorraum und Dualraum angegeben ist, diese Rolle übernimmt die Metrik.

Definition

Eine Metrik ist eine bijektive und bilineare Abbildung \( g : V \times V \rightarrow \mathbb{R} \) .

Sie definiert eine Isomorphie zwischen \( V \) und \( V^\ast \) mittels \( \tilde{v} := g ( \vec{v} , \cdot ) \Leftrightarrow \tilde{v} ( \vec{w} ) = g ( \vec{v} , \vec{w} ) \) .

Die Wahl der Metrik ist völlig frei! Entweder kann eine Metrik vorgegeben werden, oder sie wird durch die Ernennung einer Basis zur Orthonormal-Basis festgelegt. In jedem Fall ist eine Orthonormalbasis eine Basis, für die gilt: \( g ( \vec{e}_i , \vec{e}_j ) = \delta_{i,j} \) . Daraus folgt, dass \( \lbrace \tilde{e}^i := g ( \vec{e}_i , \cdot ) \rbrace \) die kanonische Dualbasis ist und somit \( v_i = \vec{e}_i ( \tilde{v} ) = g ( \vec{e}_i , \vec{v} ) = g ( \vec{e}_i , v^j \vec{e}_j ) = v^j g ( \vec{e}_i , \vec{e}_j ) = v^j \delta_{i,j} = v^i \) . ("kovariant in kontravariant", aber nur in einer ONB!!!)