Tensoren ed
Tensoren verallgemeinern Vektoren und Skalare... sind sehr wichtig in der Physik!
Vektoren, Skalare ed
Vektoren ed
Gehen wir von einem Vektorraum \( V \) über dem Körper \( \mathbb{R} \) aus. Um Verwechslungen zu vermeiden, werden Vektoren mit Vektorpfeil geschrieben: \( \vec{v} \in V \) .
Wird eine Basis \( \lbrace \vec{e}_i \rbrace \) von \( \vec{v} \in V \) gewählt, kann jeder Vektor in Koordinaten entwickelt werden: \( \vec{v} = \sum_{i} v^i \vec{e}_i = v^i \vec{e}_i \) (Einsteinsche Summenkonvention, \( v^i \in \mathbb{R} \) , "kontravariante Koordinaten").
Dualvektoren ed
Definition (Dualvektorraum)
- \( V^\ast \) sei die Menge der linearen Funktionen von \( V \) nach \( \mathbb{R} \) :
- \( V^\ast := \left\lbrace \tilde{f} \big\vert \tilde{f} : V \rightarrow \mathbb{R} , \mathrm{linear} \right\rbrace \)
Der Dualraum ist ebenfalls ein \( \mathbb{R} \) -Vektorraum und sogar isomorph zu \( V \) (also auch von gleicher Dimension).
Auch hier kann eine Basis \( \lbrace \tilde{e}^i \rbrace \) gewählt werden, wodurch eine Koordinatenentwicklung möglich ist: \( \tilde{f} = f_i \tilde{e}^i \) ( \( f_i \in \mathbb{R} \) , "kovariante Koordinaten").
Da 2 frei wählbare Basen aber eine zu viel sind, ist es praktisch, die Dualbasis durch die Basis des Vektorraums \( V \) festzulegen (kanonische Dualbasis) über \( \tilde{e}^i ( \vec{e}_j ) = \delta^i_j \) . Hieraus folgt: \( \tilde{f} ( \vec{v} ) = ( f_i \tilde{e}^i ) ( v^j \vec{e}_j ) = f_i v^j \tilde{e}^i ( \vec{e}_j ) = f_i v^j \delta^i_j = f_i v^i \) . Da die linke Seite hierbei basisunabhängig definiert ist, muss es auch die rechte Seite sein! (Das deutet die große Macht der Einsteinschen Summenkonvention an)
Zusätzlich ist folgende Definition nützlich: \( \vec{v} ( \tilde{f} ) := \tilde{f} ( \vec{v} ) \) (Gleichberechtigung zwischen Vektoren und Dualvektoren). Die Basisentwicklung \( v^i = \tilde{e}^i ( \vec{v} ) \) gilt dann auch für Dualvektoren: \( f_i = \vec{e}_i ( \tilde{f} ) \) .
Metrik ed
Bisher besitzen die Vektorräume noch kein Skalarprodukt. Es existiert aber eine kanonische, bilineare Abbildung \( I : V^\ast \times V \rightarrow \mathbb{R}, ( \tilde{f} , \vec{v} ) \mapsto I ( \tilde{f} , \vec{v} ) := \tilde{f} ( \vec{v} ) \) . Diese könnte zu einem Skalarprodukt der Vektorräume ausgebaut werden, falls eine Isomorphie zwischen Vektorraum und Dualraum angegeben ist, diese Rolle übernimmt die Metrik.
- Definition
- Eine Metrik ist eine bijektive und bilineare Abbildung \( g : V \times V \rightarrow \mathbb{R} \) .
- Sie definiert eine Isomorphie zwischen \( V \) und \( V^\ast \) mittels \( \tilde{v} := g ( \vec{v} , \cdot ) \Leftrightarrow \tilde{v} ( \vec{w} ) = g ( \vec{v} , \vec{w} ) \) .
Die Wahl der Metrik ist völlig frei! Entweder kann eine Metrik vorgegeben werden, oder sie wird durch die Ernennung einer Basis zur Orthonormal-Basis festgelegt. In jedem Fall ist eine Orthonormalbasis eine Basis, für die gilt: \( g ( \vec{e}_i , \vec{e}_j ) = \delta_{i,j} \) . Daraus folgt, dass \( \lbrace \tilde{e}^i := g ( \vec{e}_i , \cdot ) \rbrace \) die kanonische Dualbasis ist.
In jeder Basis kann \( g \) mittles \( g_{ij} = g ( \vec{e}_i , \vec{e}_j ) \) in Koordinaten entwickelt werden (siehe später...). Damit gilt \( g ( \vec{v} , \vec{w} ) = g ( v^i \vec{e}_i , w^j \vec{e}_j ) = v^i w^j g ( \vec{e}_i , \vec{e}_j ) = v^i w^j g_{ij} \) . Und somit \( v_i = \vec{e}_i ( \tilde{v} ) = g ( \vec{e}_i , \vec{v} ) = v^j g_{ij} \) . Speziell in einer ONB: \( v_i = v^j \delta_{ij} = v^i \) . ("kovariant gleich kontravariant", aber nur in einer ONB!!!)
Die Inverse der Matrix \( ( g_{ij} ) \) wird geschrieben als \( ( g^{ij} ) \) . Dies definiert eine Metrik auf dem Dualraum. Es gilt auch \( g_{ij} g^{jk} = \delta_i^k =: g_i^k \) , sowie \( f^i = g^{ij} f_j \) .
Transformationsverhalten ed
Der Übergang von einer Basis \( \lbrace \vec{e}_i \rbrace \) in eine andere \( \lbrace \vec{e'}_i \rbrace \) wird durch die Transformations-Matrix \( \Lambda \) beschrieben: \( \vec{e'}_i = \Lambda_i^j \vec{e}_j \) . Die Inverse von \( \Lambda \) sei \( ( \bar{\Lambda}^i_j ) := ( \Lambda_i^j )^{-1} \) .
Die Dualbasis transformiert sich mit \( \Lambda^{-1} \) , wegen: \( \tilde{e}^i ( \vec{e}_j ) = \delta^j_i = \tilde{e'}^i ( \vec{e'}_j ) = \cdots \) .
Die Koordinaten eines kontravarianten Vektors transformieren sich nun genau wie die Dualbasis: \( \vec{v} = v^i \vec{e}_i = v'^i \vec{e'}_i = v'^i \bar{\Lambda}_i^j \Lambda_j^k \vec{e'}_k = v'^i \bar{\Lambda}_i^j \vec{e}_j \) .
Tensoren 2. Stufe ed
kovariant ed
- Definition
- Seien \( V, W \) jeweils \( \mathbb{R} \) -Vektorräume mit den Dualräumen \( V^\ast, W^\ast \) .
- Das Tensorprodukt \( V^\ast \otimes W^\ast \) ist die Menge der multilinearen Abbildungen \( \left\lbrace T : V \times W \rightarrow \mathbb{R} \big\vert ( \vec{v} , \vec{w} ) \mapsto T ( \vec{v} , \vec{w} ) \right\rbrace \) .
Dies ist wieder ein Vektorraum. Er wird aufgespannt von den Produkten der Dualvektoren \( \tilde{f} \in V^\ast , \tilde{h} \in W^\ast \Rightarrow \tilde{f} \otimes \tilde{h} \in V^\ast \otimes W^\ast \Leftrightarrow \tilde{f} \otimes \tilde{h} ( \vec{v} , \vec{w} ) = \tilde{f} ( \vec{v} ) \cdot \tilde{h} ( \vec{w} ) \) . (Die Umkehrung gilt nicht allgemein!!!, nicht jedes Element des Tensorprodukt lässt sich als Produkt darstellen).
Die Basis von \( V^\ast \otimes W^\ast \) ist \( \lbrace e^i \otimes E^j \rbrace \) , falls \( \lbrace e^i \rbrace \) und \( \lbrace E^j \rbrace \) Basen der Dualräume sind. Somit ist \( \operatorname{dim} V^\ast \otimes W^\ast = \operatorname{dim} V^\ast \cdot \operatorname{dim} W^\ast \) . Von nun an wird nur noch der Fall \( W = V \) von Interesse sein.
Die Basisentwicklung von \( T \in V^\ast \otimes V^\ast \) geschieht wieder über \( T_{ij} = T ( \vec{e}_i , \vec{e_j} ) \) .
kontravariant ed
Ebensogut kann man \( V^\ast \) als Vektorraum und \( V \) als dessen Dualraum ansehen und auf ihnen das Tensorprodukt \( V \otimes V \) definieren. Die Basisentwicklung ist in diesem Fall \( T^{ij} = T ( \tilde{e}^i , \tilde{e}^j ) \) . Entsprechend können auch Mischungen aus ko- und kontravarianten Tensoren definiert werden.