Riemannsche Geometrie ed

Ist wirklich toll...

Table of Contents

Mannigfaltigkeiten ed

Definition
Eine n-dimensionale (diffbare) Mannigfaltigkeit \( M \) .... diffbare Kartenabbildungen in den \( \mathbb{R}^n \) ... Hausdorff

Von nun an seien \( p \in M \mapsto x^i ( p ) \in \mathbb{R} \) Koordinatenfunktionen der Mannigfaltigkeit \( M \) , bzw. \( \Psi : M \rightarrow \mathbb{R}^n , p \mapsto x ( p ) \) .

Skalarfelder ed

Auf der Mannigfaltigkeit lassen sich skalare Funtkionen ("Felder") definieren, die jedem Punkt einen Zahlwert zuweisen: \( f : M \mapsto \mathbb{R} \) . Diese kann in Koordinaten dargestellt werden: \( f ( \Psi^{-1} ( x ) ) \) . Die Funktion wird als diffbar bezeichnet, wenn sie in Koordinatendarstellung diffbar ist.

Die Menge aller diffbaren Skalarfelder auf M ist \( \mathfrak{F}(M) \) .

Vektorfelder ed

Tangentialräume ed

Definition
Eine Derivation im Punkt \( p \in M \) ist eine Abbildung \( \delta := \delta_p : \mathfrak{F}(M) \rightarrow \mathbb{R} , f \mapsto \delta ( f ) \) mit:
1) \( \delta ( \lambda f + \mu g ) = \lambda \delta ( f ) + \mu \delta ( g ) \ \ , \lambda , \mu \in \mathbb{R} \ \ , f , g \in \mathfrak{F}(M) \) ( \( \mathbb{R} \) -linear
2) \( \delta ( f g ) = \delta ( f ) g + \delta ( g ) f \) (derivativ, "Produktregel")