Riemannsche Geometrie ed

Ist wirklich toll...

Mannigfaltigkeiten ed

Definition

Eine n-dimensionale (diffbare) Mannigfaltigkeit \( M \) .... diffbare Kartenabbildungen in den \( \mathbb{R}^n \) ... Hausdorff

Von nun an seien \( p \in M \mapsto x^i ( p ) \in \mathbb{R} \) Koordinatenfunktionen der Mannigfaltigkeit \( M \) , bzw. \( \Psi : M \rightarrow \mathbb{R}^n , p \mapsto x ( p ) \) .

Skalarfelder ed

Auf der Mannigfaltigkeit lassen sich skalare Funtkionen ("Felder") definieren, die jedem Punkt einen Zahlwert zuweisen: \( f : M \mapsto \mathbb{R} \) . Diese kann in Koordinaten dargestellt werden: \( f ( \Psi^{-1} ( x ) ) \) . Die Funktion wird als diffbar bezeichnet, wenn sie in Koordinatendarstellung diffbar ist.

Die Menge aller diffbaren Skalarfelder auf M ist \( \mathfrak{F}(M) \) .

Vektorfelder ed

Tangentialräume ed

Definition

Eine Derivation im Punkt \( p \in M \) ist eine Abbildung \( \delta := \delta_p : \mathfrak{F}(M) \rightarrow \mathbb{R} , f \mapsto \delta ( f ) \) mit:

1) \( \delta ( \lambda f + \mu g ) = \lambda \delta ( f ) + \mu \delta ( g ) \ \ , \lambda , \mu \in \mathbb{R} \ \ , f , g \in \mathfrak{F}(M) \) ( \( \mathbb{R} \) -linear

2) \( \delta ( f g ) = \delta ( f ) g + \delta ( g ) f \) (derivativ, "Produktregel")

Diese bilden für jeden Punkt \( p \in M \) einen Vektorraum (der Differentialoperatoren auf Skalarfeldern). Dieser wird nun identifiziert mit dem Tangentialraum \( T_pM \) . Die Vereinigung aller Tangentialräume ist das Tangentialbündel \( TM := \bigcup_{ p \in M } T_pM \) .

Die Koordinatenableitungen \( \partial_i := \frac{ \partial }{ \partial x^i } \) bilden für jeden Punkt jeweils eine Basis der Tangentialräume.

Vektorfelder ed

Vektorfelder sind nun Funktionen, die jedem Punkt einen Vektor zuordnen, also \( X : M \rightarrow TM , p \mapsto X_p \in T_pM \) . Die Menge Vektorfelder ist \( \mathfrak{X}(M) \) .

Ein Vektorfeld \( X \) ist diffbar, wenn seine Koordinatendarstellung diffbar ist. Dies ist auch genau der Fall, wenn die Wirkung des Vektorfeldes auf ein Skalarfeld \( X ( f ) \) diffbar ist.

Definition

Die Lie-Klammer von \( V , W \in \mathfrak{X}(M) \) ist \( [ V , W ] := V W - W V \ \ , [ V , W ] ( f ) := V ( W ( f ) ) - W ( V ( f ) ) \in \mathrak{F}(M) \ \ , f \in \mathfrak{F}(M) \)