Quaternionen ed

Quaternionen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen, ähnlich den komplexen Zahlen, allerdings mit 3 imaginären Einheiten (i,j,k). Sie bilden keinen Körper, da ihre Multiplikation nicht kommutativ ist.

Der Raum der Quaternionen bildet einen 4-dimensionalen Vektorraum über den reellen Zahlen mit einem zusätzlichen ("äußeren") Produkt, es handelt sich somit um eine Algebra (Clifford-Algebra....).

Allgemein ed

Multiplikation ed

Eine Quaternion lässt sich darstellen als \( q = x_0 + i*x_1 + j*x_2 + k*x_3 = ( x_0, x_1, x_2, x_3 ) =: ( s, \vec{v} ) \) .

Die Multiplikation der Basis"vektoren" (1,i,j,k) entspricht folgender Tabelle:

$  \begin{array}{c|cccc}
 * & 1 & i & j & k\\
 \hline
 1 & 1 & i & j & k\\
 i & i & -1 & k & -j\\
 j & j & -k & -1 & i\\
 k & k & j & -i & -1\\
\end{array} \( Daraus ergibt sich für zwei Quaternionen: \) q_1 * q_2 = ( s_1, \vec{v_1} ) * ( s_2, \vec{v_2} ) = ( s_1 s_2 - \vec{v_1} * \vec{v_2}, s_1 \vec{v_2} + s_2 \vec{v_1} + \vec{v_1} \times \vec{v_2} ) \( ===Sonstiges=== * Konjugation: \) \bar{q} = \overline{ ( s, \vec{v} ) } = ( s, -\vec{v} ) \( * Der Betrag ist \) \sqrt{ q \bar{q} } \( * Für Einheitsquaternionen gilt \) q^{-1} = \bar{q} \( ==Rotationen== Rotationen können durch Einheitsquaternionen dargestellt werden, wobei eine Hintereinanderausführungen der Rotationen a und b dem Produkt der Quaternionen b*a entspricht. Die Rotation um den Winkel \) \phi \( um eine Achse \) \vec{n} \( (Einheitsvektor) entspricht dabei der Quaternion \) q = ( \cos \frac{ \phi }{ 2 }, \sin \frac{ \phi }{ 2 } \vec{n} ) \( Will man einen Vektor p durch eine Quaternion q drehen, entspricht das Ergebnis dem Quaternionen-Produkt \) ( 0, \vec{p'} ) = q * ( 0, \vec{p} ) * \bar{q} = ( s, \vec{v} ) * ( 0, \vec{p} ) * ( s, -\vec{v} ) \( und somit \) \vec{p'} = ( s^2 - \vec{v}^2 ) \vec{p} + 2 s ( \vec{v} \times \vec{p} ) + 2 \langle \vec{v} , \vec{p} \rangle \vec{v} $