Quaternionen ed

Quaternionen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen, ähnlich den komplexen Zahlen, allerdings mit 3 imaginären Einheiten \((i,j,k)\). Sie bilden keinen Körper, da ihre Multiplikation nicht kommutativ ist.

Der Raum der Quaternionen bildet einen 4-dimensionalen Vektorraum über den reellen Zahlen mit einem zusätzlichen ("äußeren") Produkt, es handelt sich somit um eine Algebra (Clifford-Algebra....).

Allgemein ed

Multiplikation ed

Eine Quaternion lässt sich darstellen als \( q = x_0 + i \cdot x_1 + j \cdot x_2 + k \cdot x_3 = ( x_0, x_1, x_2, x_3 ) =: ( s, \vec{v} ) \).

Die Multiplikation der Basis"vektoren" \((1,i,j,k)\) entspricht folgender Tabelle:

\[ \begin{array}{c|cccc} \cdot & 1 & i & j & k\\ \hline 1 & 1 & i & j & k\\ i & i & -1 & k & -j\\ j & j & -k & -1 & i\\ k & k & j & -i & -1\\ \end{array} \]

Daraus ergibt sich für zwei Quaternionen:

\[ q_1 \cdot q_2 = ( s_1, \vec{v_1} ) \cdot ( s_2, \vec{v_2} ) = ( s_1 s_2 - \langle \vec{v_1} , \vec{v_2} \rangle , s_1 \vec{v_2} + s_2 \vec{v_1} + \vec{v_1} \times \vec{v_2} ) \]

Sonstiges ed

• Konjugation: \( \bar{q} = \overline{ ( s, \vec{v} ) } = ( s, -\vec{v} ) \)
• Der Betrag ist \( \sqrt{ q \cdot \bar{q} } \)
• Für Einheitsquaternionen gilt \( q^{-1} = \bar{q} \)

Rotationen ed

Rotationen können durch Einheitsquaternionen dargestellt werden, wobei eine Hintereinanderausführungen der Rotationen \(a\) und \(b\) dem Produkt der Quaternionen \(b \cdot a\) entspricht.

Die Rotation um den Winkel \( \phi \) um eine Achse \( \vec{n} \) (Einheitsvektor) entspricht dabei der Quaternion \( q = ( \cos \frac{ \phi }{ 2 }, \sin \frac{ \phi }{ 2 } \vec{n} ) \)

Will man einen Vektor \(p\) durch eine Quaternion \(q\) drehen, entspricht das Ergebnis dem Quaternionen-Produkt

\[ ( 0, \vec{p'} ) = q \cdot ( 0, \vec{p} ) \cdot \bar{q} = ( s, \vec{v} ) \cdot ( 0, \vec{p} ) \cdot ( s, -\vec{v} ) \]und somit\[ \vec{p'} = ( s^2 - \vec{v}^2 ) \vec{p} + 2 s ( \vec{v} \times \vec{p} ) + 2 \langle \vec{v} , \vec{p} \rangle \vec{v} \]