Lie-Gruppen und -Algebren ed

Lie-Gruppen ed

Definition ed

Def: Lie-Gruppe

Eine zusammenhängende, n-dimensionale diffbare Mannigfaltigkeit \(M \)

Gruppenmultiplikation \( \phi : M \times M \rightarrow M \) mit stetigen (und analytischen) Koeffizientenfunktionen \( \phi^\mu \)

Inverse \( \Psi : M \rightarrow M \) (stetig)

Lie-Algebren ed

Links-invariante Vektorfelder \(\tilde X\).... durch Vektor am 1-Element definiert (\(X\)).

Lie-Klammer \([X, Y] = [\tilde X, \tilde Y]_e\).

Strukturkonstanten: (Basis) \([X_i, X_j] = \sum_k C^k_{ij} X_k \)

Zeug ed

Aussagen ed

Lie-Gruppen haben triviales Tangentialbündel.

Falls \(G\) kompakt, dann ist die Exponential-Abbildung surjektiv.

Falls \(\omega\) (k-Form) links- und rechtsinvariant, dann \( d\omega = 0\).

Falls \(\omega\) links-inv. 1-Form, dann \(d\omega(X, Y)_e = - \omega([X, Y])_e\)

Falls \(G\) kompakt und zusammenhängend, dann ist jede links-inv. Form auch rechts-inv.

Geodäten zu einer bi-invarianten Metrik durch das 1-Element sind die 1-Parameter-Untergruppen.

Strukturgleichungen ed

\(X_i\) Basis der Algebra, \(\omega^i\) Dualbasis als links-inv. 1-Formen. Definiere (Maurer-Cartan?)\[ \omega = \sum_k \omega^k X_k \]

Damit ist \( \omega(\tilde X)_p = X \, \forall p \in G \).

Strukturgleichungen

Linke Seite: \( d\omega = \sum_k d\omega^k X_k = \sum_k \left( \sum_{i \lt j} C^k_{ij} \omega^i \wedge \omega^j \right) X_k \)

Rechte Seite: \( [\omega \wedge \omega] = \sum_i \sum_j ( \omega^i \wedge \omega^j ) [X_i, X_j] = \sum_k \sum_i \sum_j ( \omega^i \wedge \omega^j ) C^k_{ij} X_k \)

alternative Version (\(U, V\) Vektorfelder)