Graßmann-Algebra ed

Auch Multivektoren genannt. Verallgemeinert unter anderem das Kreuzprodukt auf Vektorräume beliebiger Dimension. Felder hiervon sind Differentialformen.

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äußere (Graßmann) Algebra ed

äußeres Produkt ed

Definition
Man nehme einen Vektorraum \( V \) mit Basis \( \{ e_i \} \) und Dimension n. Hierauf lässt sich rein abstrakt ein äußeres Produkt ( \( x \wedge y \) ) definieren durch ( \( x, y, v_i \in V \) ):
assoziativ, bilinear
\( x \wedge x = 0 \) (antisymmetrisch) (die anderen beiden sind Folgen hieraus)
\( x \wedge y = - y \wedge x \)
\( v_1 \wedge \cdots \wedge v_k = 0 \) , falls die \( v_i \) linear abhängig sind

Räume von Produkten
Der Raum, der von Produkten zweier Vektoren aufgespannt wird (also deren Linearkombinationen), ist \( \bigwedge^2(V) := \langle x \wedge y | x,y \in V \rangle \) , der Raum der Produkte k vieler Vektoren ist \( \bigwedge^k(V) \) . Es gilt \( \bigwedge^k(V) = \emptyset, \mathrm{falls} \ k\gt n \) , denn es gibt höchstens n linear unabhängige Vektoren. Man definiert noch \( \bigwedge^1(V) := V, \bigwedge^0(V) := \mathbb R \) .

Als äußere Algebra oder Graßmann-Algebra wird nun die direkte Summe der äußeren Produkträume bezeichnet:

\( \bigwedge(V) := \oplus_{k=0}^n \bigwedge^k(V) \)
Die Elemente werden Multivektoren genannt.

Anmerkung
Ähnlich den Tensorprodukten lassen sich schon in \( \bigwedge^2(V) \) nicht mehr alle Elemente in das äußere Produkt zweier Vektoren zerlegen, im Allgemeinen sind hierzu schon Linearkombinationen nötig.

Basis ed

Die Basis jedes \( \bigwedge^k(V) \) wird gebildet von den äußeren Produkten k vieler Basisvektoren \( e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_k} \) , wobei für die Indizes \( i_1 \lt \cdots \lt i_k \) gilt, da gleiche Indizes Null ergeben und unterschiedliche Indizes immer angeordnet werden (Antisymmetrie!). Es gilt damit \( \dim \bigwedge^k(V) = { n \choose k } \) .

Elemente \( a \in \bigwedge^2(V) \) können nun als Linearkombinationen der Basiselemente \( \{e_i \wedge e_j,i\lt j\} \) ausgedrückt werden. Der Einfachheit halber indiziert man die Entwicklungskoeffizienten mit demselben Indexpaar, wie die Basiselemente:

\( a = \sum_{i\lt j} a^{ij} e_i \wedge e_j \)
Wird diese Koeffizientenmatrix antisymmetrisch ergänzt, kann dies geschrieben werden als
\( a = \frac 12 \sum_{i,j=1}^n a^{ij} e_i \wedge e_j =: \frac 12 a^{ij} e_i \wedge e_j \)

Entsprechend gilt für höhere Multivektoren

\( \bigwedge^k(V) \ni a = \sum_{i_1\lt \dots\lt i_k}a^{i_1 \dots i_k} e_{i_1} \wedge \dots \wedge e_{i_k} = \frac{1}{k!} a^{i_1 \dots i_k} e_{i_1} \wedge \dots \wedge e_{i_k} \)

Rang ed

(nicht so wichtig)

Die äußeren Produkträume \( \bigwedge^k(V) \) entsprechen den antisymmetrischen Tensoren der Stufe k. Ähnlich der Tensorstufe wird der Rang des äußeren Produktes als k definiert.

Ein Element der (gesammten) äußeren Algebra \( \bigwedge(V) \) kann in Linearkombinationen von Elementen der einzelnen Produkträumen zerlegt werden, der Rang ist dann der höchste Rang der Teil-Elemente.

Beispiel ed

Für einen 3-dimensionalen Raum mit Basis \( e_1, e_2, e_3 \) ergeben sich folgende Multiplikationstafel:

$
\begin{array}{c|ccc|ccc|c}\wedge & e_1 & e_2 & e_3 & e_1 \wedge e_2 & e_1 \wedge e_3 & e_2 \wedge e_3 & e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 \\\hlinee_1 & 0 & e_1 \wedge e_2 & e_1 \wedge e_3 & 0 & 0 & e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 & 0 \\e_2 & - e_1 \wedge e_2 & 0 & e_2 \wedge e_3 & 0 & - e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 & 0 & 0 \\e_3 & - e_1 \wedge e_3 & - e_2 \wedge e_3 & 0 & e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 & 0 & 0 & 0 \\\hlinee_1 \wedge e_2 & 0 & 0 & e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\e_1 \wedge e_3 & 0 & - e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\e_2 \wedge e_3 & e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hlinee_1 \wedge e_2 \wedge e_3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\end{array}
$

Das erstaunliche am äußeren Produkt ist, dass seine Definition unabhängig von der gewählten Basis des Vektorraums ist. D.h. sie gilt vor allem auch in nicht-ON-Basen (und in Räumen ohne Skalarprodukt).

Antisymmetrische Tensoren ed

Hier ist es praktisch, die Graßmann-Algebra auf dem Dualraum \( V^\star := \{ f : V \rightarrow \mathbb R | \mathrm{linear} \} \) , also \( \bigwedge(V^\star) \) zu betrachten. Siehe Tensoren.

Ist auf \( V \) eine Basis \( \{ e_i \} \) gegeben, so wird für den Dualraum die Dualbasis \( \{ \tilde e^i \} \) verwendet, für die gilt:

\( \tilde e^i ( e_j ) = \delta^i_j \) .

Antisammetrisierung ed

Man kann das äußere Produkt als eine antisymmetrisierte Version des Tensorproduktes darstellen:

\( a \wedge b = a \otimes b - b \otimes a =: \mathcal{A}(a \otimes b) \)
bzw mit der Permutationsgruppe \( S(k) \) für höhere Produkte.
\( a_i \wedge \dots \wedge a_k = \sum_{\pi \in S(k)} \sigma(\pi) a_{\pi(1)} \otimes \dots \otimes a_{\pi(k)} =: \mathcal{A}(a_1 \otimes \dots \otimes a_k) \)
(Manche Autoren teilen noch durch \( k! \) ...)

Die (hier dualen) Multivektoren \( \omega \in \bigwedge^k(V^\star) \) sind total antisymmetrisch:

\( \omega(\dots, v, \dots, w, \dots) = - \omega(\dots, w, \dots, v, \dots) \)

Es gilt für \( a, b \in V^\star \)

\( (a \wedge b)(v, w) = a(v) \, b(w) - a(w) \, b(v) = \det \left( \begin{array}{cc} a(v) & b(v) \\ a(w) & b(w) \end{array} \right) \)
entsprechend für höhere Multivektoren...

Basis-Entwicklung ed

Für \( \omega \in \bigwedge^2(V^\star) \) gilt:

\( \omega(e_{i_1}, e_{i_2}) = \frac{1}{2} \omega_{j_1 j_2} \left( \tilde{e}^{j_1} \wedge \tilde{e}^{j_2} \right) (e_{i_1}, e_{i_2}) = \frac{1}{2} \omega_{j_1 j_2} \left( \delta_{i_1}^{j_1} \delta_{i_2}^{j_2} - \delta_{i_1}^{j_2} \delta_{i_2}^{j_1} \right) = \frac{1}{2} (\omega_{i_1 i_2} - \omega_{i_2 i_1}) = \omega_{i_1 i_2} \)

Entsprechend für \( \omega \in \bigwedge^k(V^\star) \) :

\( \omega(e_{i_1}, \dots e_{i_k}) = \frac{1}{k!} \omega_{j_1 \dots j_k} \left( \tilde{e}^{j_1} \wedge \dots \wedge \tilde{e}^{j_k} \right) (e_{i_1}, \dots e_{i_k}) = \omega_{i_1 \dots i_k} \)

Determinanten ed

Sei \( \mu = \tilde{e}^1 \wedge \dots \wedge \tilde{e}^n \) . Alle anderen \( \omega \in \bigwedge^n(V^\star) \) sind skalare Vielfache von \( \mu \) (der Raum der n-Multivektoren ist 1-dimensional!).

Seien n Vektoren \( v_1, \dots, v_n \) gegeben. Für eine lineare Abbildund \( A : V \rightarrow V \) gilt:

\( \mu(A v_1, \dots, A v_n) = \det(A) \, \mu(v_1, \dots, v_n) \)
Vor allem gilt für die Basis-Entwicklung \( v_k = v_{ki} e^i \) :
\( \mu(v_1, \dots, v_n) = \det(v_{ki}) \) ,
misst also das Volumen des von den Vektoren aufgespannten Spates.

Somit können die \( \omega \in \bigwedge^n(V^\star) \) als Volumenmaße auf \( V \) interpretiert werden. Allgemein geben k-Multivektoren k-dimensionale Unterräume mit einem Volumenmaß an (zumindest Linearkombinationen davon).

Hodge Dualität ed

Ab hier wird ein Skalaprodukt auf \( V \) benötigt!

Dualität ed

Die Räume \( \bigwedge^k(V) \) und \( \bigwedge^{n-k}(V) \) besitzen dieselbe Dimension. Ist \( \{ e_i \} \) eine ON-Basis, so wird ein Isomorphismus, der sogenannte Hodge Stern Operator

\( \star : \bigwedge^k V \rightarrow \bigwedge^{n-k} V \)
definiert durch
\( e_1 \wedge \dots \wedge e_k \mapsto \star( e_1 \wedge \dots \wedge e_k ) := e_{k+1} \wedge \dots \wedge e_n \)
und entsprechende zyklische Vertauschungen.

Für Komponenten gilt:

\( (* \omega)_{i_1 \ldots i_{n-k}} = \frac{1}{k!} \omega^{j_1 \ldots j_k}\, \epsilon_{j_1 \ldots j_k i_1 \ldots i_{n-k}} \)
bzw. für nicht-ON-Basen:
\( (* \omega)_{i_1 \ldots i_{n-k}} = \frac{1}{k!} \omega^{j_1 \ldots j_k}\, \sqrt{|\det g|}\, \epsilon_{j_1 \ldots j_k i_1 \ldots i_{n-k}} \)

Kreuzprodukt ed

Speziell im \( \mathbb{R}^3 \) gilt:

\( \begin{array}{cc} \star e_1 & = e_2 \wedge e_3 \\ \star e_2 & = e_3 \wedge e_1 \\ \star e_3 & = e_1 \wedge e_2 \\ \star (e_2 \wedge e_3) &= e_1 \\ \star (e_3 \wedge e_1) &= e_2 \\ \star (e_1 \wedge e_2) &= e_3 \end{array} \)

Und damit ist

\( \star(v \wedge w) = v^i \, w^j \, \star(e_i \wedge e_j) = v^i \, w^j \, \epsilon_{ijk} e_k = v \times w \)

Categories: Mathematik