Elektrodynamik ed
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Elektrostatik ed
Grundlagen ed
Zwei ruhende Punkt-Ladungen \( q_1, q_2 \) üben aufeinander die Coulomb-Kraft aus:
$ \mathbf{F} = \frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon_0 } \frac{ q_1 q_2 }{ r^2 } \hat \mathbf{r} $ $ \epsilon_0 = 8,854 \cdot 10^{-12} \frac{ As }{ Vm } $ ist dabei die Dielektrizitätskonstante.Das elektrische Feld ist die Kraft pro Ladung auf eine Probeladung \( q \) : \( \mathbf{F} = q \mathbf{E} \) .
Für eine Ladungsdichte \( \rho \) ist das elektrische Feld dann: \( \mathbf{E}(\mathbf{R}) = \frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon_0 } \int_V \frac{ \mathbf{R} - \mathbf{r} }{ | \mathbf{R} - \mathbf{r} |^3 } \rho(\mathbf{r}) \mathrm dV \) .
Gaußscher Satz ed
Sei \( V \) ein Volumen, dann gilt:
$ \int_{ \partial V } \mathbf{E} \cdot \mathrm d\mathbf{f} = \frac{ 1 }{ \epsilon_0 } \int_V \rho \mathrm dV = \frac{ Q(V) }{ \epsilon_0 } $ Der Fluss des elektrischen Feldes durch die Oberfläche eines Volumens entspricht der Ladung im Volumen.
Es kann auch die magnetische Erregung als Kraft pro Polstärke definiert werden: \( \mathbf{F} = p \mathbf{H} \) . Das Magnetfeld oder die magnetische Induktion ist vorerst \( \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H} \) mit Einheiten \( \left[ B \right] = \frac{ Vs }{ m^2} = \mathrm{Tesla} \)
Ein statisches (!) elektrisches Feld ist ein Gradientenfeld: \( \mathbf{E} = - abla \phi \) mit einem Potential \( \phi \) . Hierdurc.h kann eine Spannung zwischen 2 Punkten definiert werden: \( U = \phi(p_2) - \phi(p_1) = \int_{p_1}^{p_2} \mathbf{E} \cdot \mathrm d\mathbf{s} \)
Sei \( F \) eine Fläche, durch die eine Stromdichte \( j \) fließt, dann gilt für das Magnetfeld über den Rand \( \partial F \) :
$
Multipole ed
Allgemein ed
Eine Ladungsverteilung \( \rho \) erzeugt ein Potential \( \phi(\mathbf{R}) = \frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon_0 } \int \frac{ \rho(\mathbf{r}) }{ | \mathbf{R} - \mathbf{r} | } \mathrm d^3r \) . Ist diese Verteilung weit genug vom Beobachter entfernt, kann der \( \frac 1 r \) -Term in eine Taylor-Reihe entwickelt werden: \( \frac 1 { \mathbf{R} - \mathbf{r} } = \exp( - \mathbf{r} \cdot abla ) \frac 1 R = \frac 1 R + \frac{ \mathbf{r} \cdot \mathbf{R} }{ R^3 } + \frac{ 3 ( \mathbf{r} \cdot \mathbf{R} )^2 + r^2 R^2 }{ R^5 } + \cdots \) . Die Anteile des Integrals ergeben dann:
- Monopol: \( q = \int \mathrm d^3r \rho(\mathbf{r}) \) (Gesamtladung)
- Dipolmoment: \( \mathbf{p} = \int \mathrm d^3r \mathbf{r} \rho(\mathbf{r}) \)
- Quadrupolmoment \( Q_{ij} = \int \mathrm d^3r \rho(\mathbf{r}) ( 3 x_i x_j - r^2 \delta_{ij} ) \)
Und wieder zusammengesetzt: \( 4 \pi \epsilon_0 \phi(\mathbf{R}) = \frac q R + \frac{ \mathbf{R} \cdot \mathbf{p} }{ R^3 } + \frac 1 2 Q_{ij} \frac{ x_i x_j }{ R^5 } + \cdots \)
Dipole ed
Zwei Ladungen \( +q, -q \) im Abstand \( \mathbf{d} \) besitzen ein Dipolmoment \( \mathbf{p} = q \mathbf{d} \) .
Ein Dipol erfährt im (inhmogenen) elektrischen Feld eine Kraft \( \mathbf{F} = ( \mathbf{p} \cdot abla ) \mathbf{E} \) und ein Drehmoment \( \mathbf{M} = \mathbf{p} \times \mathbf{E} \) . Die potentielle Energie ist \( E_{pot} = - \mathbf{p} \cdot \mathbf{E} \) .
Quadrupole ed
Der Quadrupoltensor (Matrix) ist symmetrisch und spurfrei, deswegen hat er nur 5 freie Parameter. 2 davon geben die Stärke an, 3 die Winkel-Ausrichtung. Er entspricht 4 Punktladungen \( +q, -q \) auf einem Parallelogramm mit Kanten \( \mathbf{a}, \mathbf{d} \) . Seine Stärke ist dann \( Q_{ij} = q a_i d_j \) . Kann somit auch durch 2 Dipole erzeugt werden.
Seine potentielle Energie im Feld ist \( E_{pot} = - \frac 1 6 Q_{ij} \partial_i E_j \) .
$
\begin{array}{lll}
\mathrm{M1} & \operatorname{div} \mathbf{E} = \frac{ 1 }{ \epsilon_0 } \rho & \mathrm{Gauss} \\
\mathrm{M2} & \operatorname{rot} \mathbf{E} = - \mathbf{\dot B} & \mathrm{Faraday} \\
\mathrm{M3} & \operatorname{div} \mathbf{B} = 0 & \mathrm{Gilbert} \\
\mathrm{M4} & \operatorname{rot} \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \frac{ 1 }{ c^2 } \mathbf{\dot E} & \mathrm{Ampere + Maxwell} \\
\end{array}
$ oder in Materie
$
\begin{array}{lll}
\mathrm{M1} & \operatorname{div} \mathbf{D} = \frac{ 1 }{ \epsilon_0 } \rho \\
\mathrm{M2} & \operatorname{rot} \mathbf{E} = - \mathbf{\dot B} \\
\mathrm{M3} & \operatorname{div} \mathbf{B} = 0 \\
\mathrm{M4} & \operatorname{rot} \mathbf{H} = \mathbf{j} + \mathbf{\dot D} \\
\end{array}
$
\begin{array}{lll}
\mathrm{M1} & \int_{\partial V} \mathbf{E} \cdot \mathrm d\mathbf{f} = \frac{ 1 }{ \epsilon_0 } \int_V \rho \mathrm dV & \mathrm{Gauss} \\
\end{array}
$
$ \int_{ \partial F } \mathbf{B} \cdot \mathrm d\mathbf{s} = \mu_0 \int_F \mathbf{j} \cdot \mathrm d\mathbf{f} = \mu_0 I $ .Die magnetische Zirkulation durch die Randkurve entspricht dem Fluss des Stromes durch die Fläche.
Ein statisches elektrisches Feld ist ein Gradientenfeld: \( \mathbf{E} = - abla \phi \) mit einem Potential \( \phi \) .
Das Potential lässt sich dann aus der Ladungsdichte berechnen: \( \phi(\mathbf{R}) = \frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon_0 } \int \frac{ \rho(\mathbf{r}) }{ | \mathbf{R} - \mathbf{r} | } \mathrm d^3r \) .
Die Poissongleichung: \( \triangle \phi = - \frac{ 1 }{ \epsilon_0 } \rho \)
Magnetostatik ed
Grundlagen ed
Zwei ruhende magnetische Pole mit den Polstärken \( p_1, p_2 \) üben aufeinander eine Kraft aus: \( \mathbf{F} = \frac{ 1 }{ 4 \pi \mu_0 } \frac{ p_1 p_2 }{ r^2 } \hat \mathbf{r} \) .
$ \mu_0 = 4 \pi 10^{-7} \frac{ V s }{ A m } $ ist dabei die magnetische Permeabilität oder Induktionskonstante.Es kann auch die magnetische Erregung als Kraft pro Polstärke definiert werden: \( \mathbf{F} = p \mathbf{H} \) . Das Magnetfeld oder die magnetische Induktion ist vorerst \( \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H} \) mit Einheiten \( \left[ B \right] = \frac{ Vs }{ m^2} = Tesla \)