Differentialtopologie ed
Aus dem Buch Differential Topology von Alan Pollack und Victor Guillemin
Table of Contents
Grundlagen ed
$ f \colon X \rightarrow Y $
- lokal
- in einer Umgebung um einen Punkt
- Diffeomorphismus
- glatt, bijektiv, Inverse auch glatt
- Mannigfaltigkeit
- lokal diffeomorph zu R^n
- Satz der Umkehrfunktion
- f eine glatte Funktion, Ableitung \( df_x \) an einem Punkt x sei Isomorhismus, dann ist f lokal um x ein Diffo.
- Immersion
- \( df_x \) injektiv (dim X < dim Y) ....lokal an x..... oder für alle x
(Immersion muss global nicht injektiv sein!)
- lokales Immersionstheorem
- f an x eine lokale Immersion. Dann ist f lokal äquivalent zur kanonischen Immersion.
- Einbettung
- Immersion, injektiv, Urbilder kompakter Mengen sind kompakt
- Theorem
- Einbettungen bilden X auf eine Untermannigfaltigkeit ab.
- Submersion
- \( df_x \) surjektiv... (Punkt, überall)
- Theorem
- lokale Submersion um x ist lokal äquivalent zur kanonischen Submersion.
- regulärer Punkt
- \( y \in Y \) falls an jedem x mit \( f(x) = y \) \( df_x \) surjektiv ist.
- Urbildtheorem
- y regulärer Wert. Dann ist das Urbild \( f^{-1}(y) \) Untermannigfaltigkeit von X. (dim = dim X - dim Y)
- Proposition
- Funktionen \( g_1, \dots, g_n \) auf X seien unabhängig ( \( dg_i \) linear unabh.) an allen gemeinsamen Nullstellen, dann ist die gemeinsame Nullstellenmenge Untermannigfaltigkeit (dim = dim X - n)
- Teilweise Umkehrung 1
- y regulärer Wert, dann Urbild-mgft. durch unabhängige Funktionen ausschneidbar.
- Teilweise Umkehrung 2
- Jede Untermgft. lokal durch unabh. Funktionen ausschneidbar.
- Proposition
- Urbildmgft. eines regulären Wertes, dann ist der Kern von \( df_x \) genau der Tangentialraum der Urbildmgft.
- Transversale Abbildung
- Z Untermgft in Y. f ist transversal zu Z, wenn für jedem Urbildpunkt x von Z gilt: Bild \( df_x + T_yZ = T_yY \)
- Theorem
- f transversal zu Z, dann ist \( f^{-1}(Z) \) Untermannigfaltigkeit.(kodim \( f^{-1}(Z) \) in X = kodim Z in Y)
- Transversale Untermannigfaltigkeiten
- an jedem Schnittpunkt x von X und Z in Y: \( T_xX + T_xY = T_xY \)
- Theorem
- kodim Schnitt = kodim X + kodim Z
- Stabilitätstheorem
- stabile Klassen glatter Abb. kompakter Mgft sind
- lokale Diffeomorphismen
- Immersionen
- Submersionen
- transversale Abb. zu bel. Untermgft
- Einbettungen
- Diffeomorphismen
- Sard's Theorem
- Die kritischen Punkte einer glatten Abb. zwischen Mannigfaltigkeiten bilden eine Nullmenge.