Differentialformen ed

...sind toll!

Der Raum sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit \( M \). Alle weiteren Definitionen (Koordinaten, Basen, Felder,...) siehe Riemannsche Geometrie. Wer es einfacher mag, kann sich auch einen \( \mathbb{R}^n \) hernehmen. Nötiges Vorwissen: Graßmann-Algebra.

Grundlagen ed

Definition ed

Differentialformen sind Felder von dualen Multivektoren (also Elementen der Graßmann-Algebra) tangential an eine Mannigfaltigkeit \( M \) . Man kann sie auch als total antisymmetrische Tensorfelder ansehen.

Felder von dualen k-Multivektoren nennt man k-Formen und ihre Menge \( \Omega^k(M) \) .

0- und 1-Formen ed

Aus der Riemannschen Geometrie stammen folgende Objekte:

• 0-Formen sind diffbare (skalare) Funktionen auf \( M \) , also \( f \in \mathfrak{F}(M) \) .
• 1-Formen sind diffbare Dualvektorfelder, also \( \mathfrak{X}^\ast(M) \ni \omega : \mathfrak{X}(M) \mapsto \mathfrak{F}(M) \) .
• Vektorfelder sind Ableitungsoperatoren auf 0-Formen, sie entsprechen der Richtungsableitung

\( \lbrace \partial_i \rbrace \) und \( \lbrace dx^i \rbrace \) seien die Basisfelder der Tangential- und Kotangentialräume \( T_pM \) und \( T^\ast_pM \) .

Eine 1-Form \( \omega \) kann (für jeden Punkt \( p \in M \) ) in Komponenten zerlegt werden: \( \omega = \omega_i \, dx^i \) . Die Basiszerlegung wird dabei durch\[ \omega ( \partial_i ) = ( \omega_k \, dx^k ) ( \partial_i ) = \omega_k \, dx^k ( \partial^i ) = \omega_i \, \delta^k_i = \omega_i \]vollzogen. Also insgesamt \( \omega = \omega ( \partial_i ) \, dx^i \) .

äußeres Produkt ed

Siehe Graßmann-Algebra.

äußere Ableitung ed

0-Formen ed

In der Riemannschen Geometrie kann eine 0-Form (Skalarfeld) als eine Abbildung zwischen 2 Mannigfaltigkeiten \( f : M \rightarrow N = \mathbb{R} \) angesehen werden, weswegen das Differential \( df \) definiert ist und eine lineare Abbildung zwischen den Tangentialräumen definiert: \( df_p : T_pM \rightarrow T_{ f ( p ) }N \cong \mathbb{R} \) . Global ist das Differential einer 0-Form also eine Abbildung \( df : \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{F}(M) \) also ein 1-Form.

Für ein Vektorfeld \( X \) entspricht \( df ( X ) = X ( f ) \) der Richtungsableitung von f in Richtung \( X \) .

Die Basisentwicklung dieses Differentials lautet \( df = df ( \partial_i ) dx^i = \partial_i ( f ) dx^i = \frac{ \partial f }{ \partial x^i } dx^i \) , was an die Formel für das totale Differential erinnert.

allgemein ed

Allgemein ist die äußere Ableitung ein Operator \( d : \Omega^k(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M) \) .

Explizit in Komponten ausgedrückt:\[ d\omega = \frac{\partial \omega_{i_1 \dots i_k}}{\partial x^m} dx^m \wedge dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_k} \]

Koordinatenfrei:\[ (d\omega)(X_0, \dots, X_k) = (-1)^i X_i \left( \omega(X_0, \dots, \hat X_i, \dots, X_k) \right) + \sum_{i\lt j} (-1)^{i+j} \omega( [X_i, X_j], X_0, \dots, \hat X_i, \dots, \hat X_j, \dots, X_k) \]

Rechenregeln:

\( dd\omega = 0 \)

\( d(\omega \wedge \mu) = d\omega \wedge \mu + (-1)^k \omega \wedge d\mu \) (für \( \omega \in \Omega^k(M) \) )

verwandte Operatoren ed

Sei hier \( v^\sharp := \langle v, \cdot \rangle \) die kanonische Identifizierung von 1-Formen zu Vektorfeldern.

(Die Relationen werden im \( \mathbb R^n \) mit ON-Basis sehr offensichtlich, da da die ganzen \( \sharp \) und viele \( \star \) wegfallen)

Gradient

Divergenz

Rotation (3d)

Laplace

Üblicherweise wird \( \bigtriangleup := \delta d + d \delta \) für alle k-Formen definiert.

Integration ed

Grundlagen ed

Sei \( N \subset M \) eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Eine k-Form \( \omega \in \Omega^k(M) \) kann als eine Art Volumenmaß für k-dimensionale Unterräume angesehen werden. Deshalb ist die Idee naheliegend, ein Integral von k-Formen über k-Untermannigfaltigkeiten zu definieren:\[ \int_N \omega \]

Dazu sei \( f : \mathbb R^k \rightarrow M \) eine Parametrisierung von \( N \) . Damit ist das Integral\[ \int_N \omega = \int \omega\left(\frac{\partial f}{\partial t_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial t_k}\right) \, dt^1 \dots dt^k \]

Wieder ist das erstaunliche, dass diese Definition unabhängig von der Parametrisierung ist.

Satz von Stokes ed

Sehr elegant:\[ \int_N d\omega = \int_{\partial N} \omega \]

Abwandlungen ed

In der Praxis werden oft böse Schreibweisen verwendet...

Volumenintegral einer skalaren Funktion

Flussintegral (Vektorfeld durch eine Hyperfläche)

(wobei hier das Vektorfeld \( \vec{v} \) sogar noch in eine 1-Form \( v^\sharp := \langle \vec{v}, \cdot \rangle \) übersetzt wird)

Anwendungen ed

Elektrodynamik ed

$  dF = 0, d(\ast F) = j  $  (^_^)