Differentialformen ed

...sind toll!

Der Raum sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit \( M \) . Alle weiteren Definitionen (Koordinaten, Basen, Felder,...) siehe Riemannsche Geometrie. Wer es einfacher mag, kann sich auch einen \( \mathbb{R}^n \) hernehmen.

Wenn Koordinaten \( \lbrace x^i \rbrace \) gewählt wurden, bezeichnen \( \lbrace e_i \rbrace \) die Basisvektorfelder und \( \lbrace dx^i \rbrace \) die Dualbasisfelder ( \( dx^i ( e_j ) = \delta^i_j \) ).

äußere (Grassmann) Algebra ed

Eine 1-Form \( \omega \) kann (für jeden Punkt \( p \in M \) ) in Koordinaten zerlegt werden: \( \omega = \omega_i dx^i \) . Die Basiszerlegung wird dabei durch \( \omega ( \partial_i ) = ( \omega_k dx^k ) ( \partial_i ) = \omega_k dx^k ( \partial^i ) = \omega_i \delta^k_i = \omega_i \) vollzogen. Also insgesamt \( \omega = \omega ( \partial_i ) dx^i \) .

Man nehme einen Vektorraum \( V \) mit Basis \( \{ e_i \} \) und Dimension n. Hierauf lässt sich rein abstrakt ein äußeres Produkt ( \( x \wedge y \) ) definieren durch ( \( x, y, v_i \in V \) ):

• assoziativ, bilinear
• \( x \wedge x = 0 \) (antisymmetrisch) (die anderen beiden sind Folgen hieraus)
• \( x \wedge y = - y \wedge x \)
• \( v_1 \wedge \cdots \wedge v_k = 0 \) , falls die \( v_i \) nicht linear unabhängig sind

Der Raum, der von Produkten zweier Vektoren aufgespannt wird, ist \( \bigwedge^2(V) := \langle x \wedge y | x,y \in V \rangle \) , der Raum der Produkte k vieler Vektoren ist \( \bigwedge^k(V) \) . Es gilt \( \dim \bigwedge^k(V) = { n \choose k } \) und somit \( \bigwedge^k(V) = \emptyset, \mathrm{falls} \ k\gt n \) , denn es gibt höchstens n linear unabhängige Vektoren. Man definiert noch \( \bigwedge^1(V) := V, \bigwedge^0(V) := \mathbb R \) .

Als äußere Algebra oder Grassmann-Algebra wird nun die direkte Summe der äußeren Produkträume bezeichnet ( \( \bigwedge(V) := \oplus_{k=0}^n \bigwedge^k(V) \) ).

Rang ed

Die äußeren Produkträume \( \bigwedge^k(V) \) entsprechen den antisymmetrischen Tensoren der Stufe k. Ähnlich der Tensorstufe wird der Rang des äußeren Produktes als k definiert.

Ein Element der (gesammten) äußeren Algebra \( \bigwedge(V) \) kann in Linearkombinationen von Elementen der einzelnen Produkträumen zerlegt werden, der Rang ist dann der höchste Rang der Teil-Elemente.

alternierende Multilinearformen ed

inneres Produkt ed

Hodge Dualität ed

1-Formen ed

Grundlagen ed

Aus der Riemannschen Geometrie stammen folgende Objekte:

• 0-Formen sind diffbare (skalare) Funktionen auf \( M \) , also \( f \in \mathfrak{F}(M) \) .
• 1-Formen sind diffbare Dualvektorfelder, also \( \mathfrak{X}^\ast(M) i \omega : \mathfrak{X}(M) \mapsto \mathfrak{F}(M) \) .
• Vektorfelder sind Ableitungsoperatoren auf 0-Formen, sie entsprechen der Richtungsableitung

$  \lbrace \partial_i \rbrace  $  und  $  \lbrace dx^i \rbrace  $  seien die Basisfelder der Tangential- und Kotangentialräume  $  T_pM  $  und  $  T^\ast_pM  $ .

Eine 1-Form \( \omega \) kann (für jeden Punkt \( p \in M \) ) in Koordinaten zerlegt werden: \( \omega = \omega_i dx^i \) . Die Basiszerlegung wird dabei durch \( \omega ( \partial_i ) = ( \omega_k dx^k ) ( \partial_i ) = \omega_k dx^k ( \partial^i ) = \omega_i \delta^k_i = \omega_i \) vollzogen. Also insgesamt \( \omega = \omega ( \partial_i ) dx^i \) .

äußeres Produkt ed

äußeres Produkt ed

Zwei Basis-1-Formen \( dx^i , dx^k \) wird durch das äußere Produkt eine 2-Form zugeordnet: \( dx^i \wedge dx^k \) mit \( ( dx^i \wedge dx^k ) ( X , Y ) = dx^i ( X ) \cdot dx^k ( Y ) - dx^k ( X ) \cdot dx^i ( Y ) = X^i Y^k - X^k Y^i \) . Also speziell \( ( dx^i \wedge dx^k ) ( \partial_m , \partial_p ) = \delta^i_m \cdot \delta^k_p - \delta^i_p \cdot \delta^k_m \) .

Zwei Basis-1-Formen \( dx^i , dx^k \) wird durch das äußere Produkt eine 2-Form zugeordnet: \( dx^i \wedge dx^k \) mit \( ( dx^i \wedge dx^k ) ( X , Y ) = dx^i ( X ) \cdot dx^k ( Y ) - dx^k ( X ) \cdot dx^i ( Y ) = X^i Y^k - X^k Y^i \) .

Diese 2-Form ist antisymmetrisch: \( dx^i \wedge dx^k = - dx^k \wedge dx^i \) .

Das äußere Produkt kann sich auf beliebige 1-Formen \( \omega , \theta \) verallgemeinern, da sich diese als Linearkombinationen von Basis-1-Formen schreiben lassen. Es gilt

$  ( \omega \wedge \theta ) ( X , Y ) = \omega ( X ) \cdot \theta ( Y ) - \omega ( Y ) \cdot \theta ( X ) =

 \det \left( \begin{array}{cc}
   \omega ( X ) & \omega ( Y ) \\
   \theta ( X ) & \theta ( Y ) \\
 \end{array} \right)
$ .

Anmerkung: Statt der Summation über den halben Index-Bereich, kann auch ein Vorfaktor \( \tfrac 1 2 \) eingebaut werden. Wird beides unterlassen, treten Widersprüche aus (selbst nachrechnen!).

Durch die \( dx^i \wedge dx^k \) ist eine Basis der 2-Formen gegeben. Jede 2-Form \( \omega \) lässt sich darstellen als \( \omega = \sum_{ i \lt k } \omega_{ik} dx^i \wedge dx^k \) . Wegen der Antisymmetrie reicht es hier, über \( i \lt k \) zu summieren. Es gilt die Koordinatenentwicklung \( \omega_{ik} = \omega ( \partial_i , \partial_k ) \) .

In der Riemannschen Geometrie kann eine 0-Form (Skalarfeld) als eine Abbildung zwischen 2 Mannigfaltigkeiten \( f : M \rightarrow N = \mathbb{R} \) angesehen werden, weswegen das Differential \( df \) definiert ist und eine lineare Abbildung zwischen den Tangentialräumen definiert: \( df_p : T_pM \rightarrow T_{ f ( p ) }N \cong \mathbb{R} \) . Global ist das Differential einer 0-Form also eine Abbildung \( df : \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{F}(M) \) also ein 1-Form.

Für ein Vektorfeld \( X \) entspricht \( df ( X ) = X ( f ) \) der Richtungsableitung von f in Richtung \( X \) .

Die Basisentwicklung dieses Differentials lautet \( df = df ( \partial_i ) dx^i = \partial_i ( f ) dx^i = \frac{ \partial f }{ \partial x^i } dx^i \) , was an die Formel für das totale Differential erinnert.

Die Ableitung einer 0-Form ist auch eine 1-Form: \( df := ( \partial_i f ) dx^i \) bzw. \( df( X ) := X( f ) \) .

Anwendungen ed

Elektrodynamik ed

$  dF = 0, d(\ast F) = j  $  (^_^)