Darstellungstheorie endlicher Gruppen ed

siehe Gruppentheorie

Sei \(G\) eine endliche Gruppe der Ordnung \(N\).

Table of Contents

Grundlagen ed

Definition ed

Definition
Eine Darstellung ist ein Homomorphismus \( D : G \rightarrow Gl(V) \) für einen Vektorraum \(V\) mit
\( D(e) = \operatorname{Id}_V \)

Definition
\(D\) ist irreduzibel, falls keine (nicht-trivialen) invarianten Unterräume existieren.

Definition
\(D\) ist komplett reduzibel, falls sie äquivalent zu einer direkten Summe von irreduziblen Darstellungen ist.

Theorem
Jede Darstellung einer endlichen Gruppe ist äquivalent zu einer unitären Darstellung.

Schur Lemma ed

Lemma
Für irreduzible Darstellungen \(D^a, D^b\) sei \(A\) ein linearer Operator mit
\[ D^a(g) \cdot A = A \cdot D^b(g), \quad \forall g \in G \]
Dann ist \(A \propto \operatorname{Id}\).
Falls \(D^a, D^b\) nicht äquivalent sind, ist \(A=0\).

Orthogonalität ed

\[ \sum_g \bar D_a(g)_{jk} D_b(g)_{lm} = \frac{N}{n_a} \delta_{ab} \delta_{jl} \delta_{km} \]

\[ N = \sum_a n_a^2 \]

Theorem
Die Matrixelemente der irreduziblen Darstellungen bilden eine vollständige ON-Basis der Funktionen auf \(G\).

Charaktere ed

Definition
\[ \chi_D(g) = \operatorname{tr} D(g) \]

Orthogonalität
\[ \sum_g \bar \chi_a(g) \chi_b(g) = N \delta_{ab} \]

Zahl der Konjugationsklassen ist gleich der Zahl der irreduziblen Darstellungen.

Orthogonalität (2)
\[ \sum_a \bar \chi_a(g_\mu) \chi_a(g_\nu) = \frac{N}{k_\mu} \delta_{\mu\nu} \]
mit \( k_\mu \) der Zahl der Elemente der Konjugationsklasse \(\mu\)

Für eine beliebige Darstellung \(D\) lässt sich die Zahl der enthaltenen Kopien der irreduziblen Darstellung \(D_a\) berechnen durch\[ \frac{1}{N} \sum_g \bar \chi_a(g) \chi_D(g) = m_a \]

Die reguläre Darstellung hat Charaktere\[ \chi_R(g) = \left\{ \begin{matrix} N, \quad g=e \\ 0, \quad g \ne e \end{matrix} \right. \]also \(m_a=n_a\), d.h. sie enthält jede irreduzible Darstellung und die Anzahl der Kopien ist deren Dimension.

Projektion
Für eine beliebige Darstellung \(D\) projiziert
\[ P_a = \frac{n_a}{N} \sum_g \bar \chi_a(g) D(g) \]
auf die (\(m_a\) Kopien der) irreduzible Darstellung \(D_a\).

Categories: Mathematik, Algebra