Darstellungstheorie der SU(2) ed
wie war das nochmal mit den vielen \[j\]s?
Lie-Algebra ed
Zuerst die Gruppe:
- \[ SU(2) = \{ M \in \mathbb{C}^{2x2} | M M^\dagger = 1, \operatorname{det}(M) = 1 \} \]
Dann die Algebra in Physiker-Konvention:
- \[ SU(2) \ni g = e^{i \mathfrak L_k \alpha^k} \]
- \[ \mathfrak L_x = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \; \mathfrak L_y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \; \mathfrak L_z = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]
- \[ [\mathfrak L_k, \mathfrak L_l] = i \epsilon_{klm} \mathfrak L_m \]
irreduzible Darstellungen ed
Seien \[ L_k = \rho(\mathfrak L_k) \] (irreduzible) Darstellungsmatrizen, dann gilt ebenso
- \[ [L_k, L_l] = i \epsilon_{klm} L_m \]
Auf- Absteigeoperatoren ed
Definiere
- \[ L_\pm = \frac{1}{\sqrt{2}} (L_x \pm i L_y) \]
- \[ [L_z, L_\pm] = \frac{1}{\sqrt{2}} (i \epsilon_{zxy} L_y \pm i^2 \epsilon_{zyx} L_x) = \frac{1}{\sqrt{2}} (i L_y \pm L_x) = \pm L_\pm \]
- \[ [L_+, L_-] = \frac{1}{2} [L_x, -i L_y] + \frac{1}{2} [i L_y, L_x] = L_z \]
- \[ L_\pm^\dagger = L_\mp \]
Eigenwerte ed
\[L_z\] ist weiterhin hermitesch, es lassen sich also reelle Eigenwerte finden:
- \[ L_z |m\rangle = m |m\rangle, \; m \in \mathbb R \]
- \[ L_z L_\pm |m\rangle = [L_z, L_\pm] |m\rangle + L_\pm L_z |m\rangle = \pm L_\pm |m\rangle + m L_\pm |m\rangle = (m \pm 1) L_\pm |m\rangle \]
irreduzibel ed
Wir haben also Ketten von Eigenwerten/vektoren. Für endliche Darstellungen müssen diese Ketten in beiden Richtungen enden, also existieren min/maximale Eigenwerte mit
- \[ L_+ |j=m_\mathrm{max}\rangle = 0 = L_- |j_0=m_\mathrm{min}\rangle \]
Außerdem kann es nur eine einzelne Kette geben, wobei die Eigenvektoren eindeutig (bis auf eine globale Phase) durch \[m\] bestimmt sind. (gäbe es mehrere Ketten, wären das reduzible Unterräume)
Normierungsfaktoren ed
Normiere nach dem Absteigen:
- \[ L_- |m\rangle = N_m |m-1\rangle \]
- \[ L_+ |m-1\rangle = N_m |m\rangle \]
starte mit
- \[ \dots \Rightarrow N_j = \sqrt{j} \]
- \[ \langle m | L_+ L_- | m \rangle = \langle m | L_- L_+ | m \rangle + \langle m | [L_+, L_-] | m \rangle \]
- \[ \Rightarrow N_m^2 = N_{m+1}^2 + m \]
- \[ N_m = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(j+m) (j-m+1)} \]
Dimension ed
mit \[n = j - j_0\]
- \[ N_{j_0} = 0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(2j-n) (n+1)} \]
- \[ n = 2j \; \Rightarrow \; j \in \mathbb{N}/2 \]
Also Dimension ist \[2j + 1\].
Darstellungen der Gruppe ed
Das waren bisher Darstellungen der Algebra. Man kann daraus Darstellungen der Gruppe konstruieren:
- \[ SU(2) \ni g = e^{i X} = e^{i \mathfrak{L}_k X^k} \; \mathrm{mit} \, X \in \mathfrak{su}(2) \]
- \[ \rho(g) := e^{i \rho(X)} = e^{i \rho(\mathfrak{L}_k) X^k} \]
Beispiel: SO(3) ed
Wieder in Physiker-Konvention:
- \[ SO(3) \ni g = e^{i L_k \alpha^k} \]
- \[ L_x = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}, \; L_y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix} \; L_z = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
- \[ [L_k, L_l] = i \epsilon_{klm} L_m \]
Eigenewerte/vektoren von \[L_z\]:
| -1 | 0 | 1 |
|---|---|---|
| \[ |-1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \\ 0 \end{pmatrix}\] | \[|0\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\] | \[|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ -i \\ 0 \end{pmatrix}\] |
Definiere
- \[L_\pm = \frac{1}{\sqrt{2}} (L_x \pm i L_y) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 & \mp 1 \\ 0 & 0 & -i \\ \pm 1 & i & 0 \end{pmatrix} \]
- \[ [L_z, L_\pm] = i L_y \pm L_x = \pm L_\pm \]
- \[ L_\pm |0\rangle = |\pm 1\rangle, \; L_\pm |\mp1\rangle = |0\rangle, \; L_\pm |\pm 1\rangle = 0 \]