Darstellungstheorie der SU(2) ed

wie war das nochmal mit den vielen \(j\)s?

Lie-Algebra ed

Zuerst die Gruppe:\[ SU(2) = \{ M \in \mathbb{C}^{2x2} | M M^\dagger = 1, \operatorname{det}(M) = 1 \} \]

Dann die Algebra in Physiker-Konvention:\[ SU(2) \ni g = e^{i \mathfrak L_k \alpha^k} \]damit wird \(\mathfrak{su}(2)\) aufgespannt von\[ \mathfrak L_x = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \; \mathfrak L_y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \; \mathfrak L_z = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]mit\[ [\mathfrak L_k, \mathfrak L_l] = i \epsilon_{klm} \mathfrak L_m \]

irreduzible Darstellungen ed

Seien \( L_k = \rho(\mathfrak L_k) \) (irreduzible) Darstellungsmatrizen, dann gilt ebenso\[ [L_k, L_l] = i \epsilon_{klm} L_m \]

Auf- Absteigeoperatoren ed

Definiere\[ L_\pm = \frac{1}{\sqrt{2}} (L_x \pm i L_y) \]damit gilt\[ [L_z, L_\pm] = \frac{1}{\sqrt{2}} (i \epsilon_{zxy} L_y \pm i^2 \epsilon_{zyx} L_x) = \frac{1}{\sqrt{2}} (i L_y \pm L_x) = \pm L_\pm \]und\[ [L_+, L_-] = \frac{1}{2} [L_x, -i L_y] + \frac{1}{2} [i L_y, L_x] = L_z \]sowie\[ L_\pm^\dagger = L_\mp \]

Eigenwerte ed

\(L_z\) ist weiterhin hermitesch, es lassen sich also reelle Eigenwerte finden:\[ L_z |m\rangle = m |m\rangle, \; m \in \mathbb R \]Dann ist\[ L_z L_\pm |m\rangle = [L_z, L_\pm] |m\rangle + L_\pm L_z |m\rangle = \pm L_\pm |m\rangle + m L_\pm |m\rangle = (m \pm 1) L_\pm |m\rangle \]d.h. \(L_\pm |m\rangle\) ist auch Eigenvektor von \(L_z\) zum Egenwert \(m \pm 1\) (...oder \(L_\pm |m\rangle = 0\)).

irreduzibel ed

Wir haben also Ketten von Eigenwerten/vektoren. Für endliche Darstellungen müssen diese Ketten in beiden Richtungen enden, also existieren min/maximale Eigenwerte mit\[ L_+ |j=m_\mathrm{max}\rangle = 0 = L_- |j_0=m_\mathrm{min}\rangle \]

Außerdem kann es nur eine einzelne Kette geben, wobei die Eigenvektoren eindeutig (bis auf eine globale Phase) durch \(m\) bestimmt sind. (gäbe es mehrere Ketten, wären das reduzible Unterräume)

Normierungsfaktoren ed

Normiere nach dem Absteigen:\[ L_- |m\rangle = N_m |m-1\rangle \](mit \(N_m \ge 0\)). Wegen \( N_m = \langle m - 1 | L_- | m \rangle = \langle m | L_-^\dagger | m - 1 \rangle = \langle m | L_+ | m - 1 \rangle \) auch\[ L_+ |m-1\rangle = N_m |m\rangle \]

starte mit\[ \dots \Rightarrow N_j = \sqrt{j} \]und dann\[ \langle m | L_+ L_- | m \rangle = \langle m | L_- L_+ | m \rangle + \langle m | [L_+, L_-] | m \rangle \]\[ \Rightarrow N_m^2 = N_{m+1}^2 + m \]und folgere\[ N_m = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(j+m) (j-m+1)} \]

Dimension ed

mit \(n = j - j_0\)\[ N_{j_0} = 0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(2j-n) (n+1)} \]und damit\[ n = 2j \; \Rightarrow \; j \in \mathbb{N}/2 \]

Also Dimension ist \(2j + 1\).

Darstellungen der Gruppe ed

Das waren bisher Darstellungen der Algebra. Man kann daraus Darstellungen der Gruppe konstruieren:\[ SU(2) \ni g = e^{i X} = e^{i \mathfrak{L}_k X^k} \; \mathrm{mit} \, X \in \mathfrak{su}(2) \]dann\[ \rho(g) := e^{i \rho(X)} = e^{i \rho(\mathfrak{L}_k) X^k} \]

Beispiel: SO(3) ed

Wieder in Physiker-Konvention:\[ SO(3) \ni g = e^{i L_k \alpha^k} \]damit wird \(\mathfrak so(3)\) aufgespannt von\[ L_x = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}, \; L_y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix} \; L_z = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]mit\[ [L_k, L_l] = i \epsilon_{klm} L_m \]

Eigenewerte/vektoren von \(L_z\):

Definiere\[L_\pm = \frac{1}{\sqrt{2}} (L_x \pm i L_y) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 & \mp 1 \\ 0 & 0 & -i \\ \pm 1 & i & 0 \end{pmatrix} \]damit ist\[ [L_z, L_\pm] = i L_y \pm L_x = \pm L_\pm \]und (...Vorzeichen kaputt...)\[ L_\pm |0\rangle = |\pm 1\rangle, \; L_\pm |\mp1\rangle = |0\rangle, \; L_\pm |\pm 1\rangle = 0 \]