Darstellungstheorie der SU(2) ed

wie war das nochmal mit den vielen \[j\]s?

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Lie-Algebra ed

Zuerst die Gruppe:

\[ SU(2) = \{ M \in \mathbb{C}^{2x2} | M M^\dagger = 1, \operatorname{det}(M) = 1 \} \]

Dann die Algebra in Physiker-Konvention:

\[ SU(2) \ni g = e^{i \mathfrak L_i \alpha^i} \]
damit wird \[\mathfrak{su}(2)\] aufgespannt von
\[ \mathfrak L_x = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \; \mathfrak L_y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \; \mathfrak L_z = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]
mit
\[ [\mathfrak L_i, \mathfrak L_j] = i \epsilon_{ijk} \mathfrak L_z \]

irreduzible Darstellungen ed

Seien \[ L_i = \rho(\mathfrak L_i) \] (irreduzible) Darstellungsmatrizen, dann gilt ebenso

\[ [L_i, L_j] = i \epsilon_{ijk} L_z \]

Auf- Absteigeoperatoren ed

Definiere

\[ L_\pm = L_x \mp i L_y \]
damit gilt
\[ [L_z, L_\pm] = \frac{1}{\sqrt{2}} (i \epsilon_{zxy} L_y \mp i^2 \epsilon_{zyx} L_x) = \frac{1}{\sqrt{2}} (i L_y \pm L_x) = \pm L_\pm \]
und
\[ [L_+, L_-] = \frac{1}{2} [L_x, i L_y] + \frac{1}{2} [-i L_y, L_x] = L_z \]

Eigenwerte ed

\[L_z\] ist weiterhin hermitesch, es lassen sich also reelle Eigenwerte finden:

\[ L_z |m\rangle = m |m\rangle, \; m \in \mathbb R \]
Dann ist
\[ L_z L_\pm |m\rangle = [L_z, L_\pm] |m\rangle + L_\pm L_z |m\rangle = \pm L_\pm |m\rangle + m L_\pm |m\rangle = (m \pm 1) L_\pm |m\rangle \]
d.h. \[L_\pm |m\rangle\] ist auch Eigenvektor von \[L_z\] zum Egenwert \[m \pm 1\] (...oder \[L_\pm |m\rangle = 0\]).

irreduzibel ed

Wir haben also Ketten von Eigenwerten/vektoren. Für endliche Darstellungen müssen diese Ketten in beiden Richtungen enden, also existieren min/maximale Eigenwerte mit

\[ L_+ |j=m_\mathrm{max}\rangle = 0 = L_- |m_\mathrm{min}\rangle \]

Außerdem kann es nur eine einzelne Kette geben, wobei die Eigenvektoren eindeutig (bis auf eine globale Phase) durch \[m\] bestimmt sind. (gäbe es mehrere Ketten, wären das reduzible Unterräume)

Normierungsfaktoren ed

Normiere nach dem Absteigen:

\[ L_- |m\rangle = N_m |m-1\rangle \] (mit \[N_m \ge 0\])

bla bla... damit auch

\[ L_+ |m-1\rangle = N_m |m\rangle \]

starte mit

\[ \dots \Rightarrow N_j = \sqrt{j} \]
und dann
\[ \dots \Rightarrow N_m^2 = N_{m+1}^2 + m \]
und folgere
\[ N_m = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(j+m) (j-m+1)} \]

Dimension ed

mit \[n = j - m_\mathrm{min}\]

\[ N_{m_\mathrm{min}} = 0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(2j-n) (n+1)} \]
und damit
\[ n = 2j \; \Rightarrow \; j \in \mathbb{N}/2 \]

Also Dimension ist \[2j + 1\].

Beispiel: SO(3) ed

Wieder in Physiker-Konvention:

\[ SO(3) \ni g = e^{i L_i \alpha^i} \]
damit wird \[\mathfrak so(3)\] aufgespannt von
\[ L_x = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \\ 0 & -i & 0 \end{pmatrix}, \; L_y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix} \; L_z = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 \\ -i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
mit
\[ [L_i, L_j] = i \epsilon_{ijk} L_k \]

Eigenewerte/vektoren von \[L_z\]:

-101
\[ |-1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 0 \end{pmatrix}\]\[|0\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]\[|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ i \\ 0 \end{pmatrix}\]

Definiere

\[L_\pm = \frac{1}{\sqrt{2}} (L_x \mp i L_y) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 & \mp 1 \\ 0 & 0 & i \\ \pm 1 & -i & 0 \end{pmatrix} \]
damit ist
\[ [L_z, L_\pm] = i L_y \mp L_x = \mp L_\pm \]
und
\[ L_\pm |0\rangle = |\pm 1\rangle, \; L_\pm |\mp1\rangle = |0\rangle, \; L_\pm |\pm 1\rangle = 0 \]

Categories: Mathematik, Algebra