Cartan Struktur Gleichungen ed

Lassen die Krümmung aus Differentialformen berechnen. Siehe Riemannsche Geometrie

Gleichungen ed

Aussage ed

Seien \( \theta^i, \, i = 1 \dots n \) orthonormale 1-Formen auf \[M\].

torsionsfrei

\( d\theta^i = - {\omega^i}_j \wedge \theta^j \)

\( d{\omega^i}_j = - {\omega^i}_k \wedge {\omega^k}_j + {\Omega^i}_j \)

mit Torsion

\( d\theta^i + {\omega^i}_j \wedge \theta^j = \mathfrak T^i \)

\( d{\omega^i}_j + {\omega^i}_k \wedge {\omega^k}_j = {\Omega^i}_j \)

Jeweils mit \[ {\omega^i}_j = - {\omega^j}_i \].

Die so eindeutig definierten matrixwertigen 1- und 2-Formen \[\omega, \Omega\] sind die Zusammenhangs- und Krümmungsformen. \[ \mathfrak T \] ist die Torsion.

Diskussion ed

(was folgt aus was...)

Die ON-Basis-Forderung sorgt für die Bedingung \[ {\omega^i}_j = - {\omega^j}_i \]. Die mögliche Transformationsgruppe von einem Punkt zu einem anderen ist \[ SO(n) \] und deshalb \[ \omega(X) \in \mathfrak{so}(n) \]. Wird diese Forderung aufgehoben und eine andere Gruppe erlaubt (z.B. \[ GL(n) \]), dann entfällt auch die Antisymmetrie.

Verbindung zu Tensoren ed

Zusammenhang ed

Mit einem ON-Basisfeld \[ X_i \] mit \[ \theta^i(X_j) = \delta^i_j \] sei

\[ {\omega^i}_j(V) := \theta^i(\nabla_V X_j) = \langle \nabla_V X_j, X_i \rangle \]

Test mit der ersten Struktur-Gleichung (benutze, dass \[\nabla\] mit der Metrik verträglich ist: \[ Z g(U, V) = g(\nabla_Z U, V) + g(U, \nabla_Z V) \]):

\( \begin{array}{rl} \mathfrak T^i(U, V) &= d\theta^i(U, V) + ({\omega^i}_j \wedge \theta^j)(U, V) \\ &= U( \theta^i(V)) - V( \theta^i(U)) - \theta^i([U, V]) + {\omega^i}_j(U) \theta^j(V) - {\omega^i}_j(V) \theta^j(U) \\ &= U( \langle V, X_i \rangle ) - V( \langle U, X_i \rangle) - \theta^i([U, V]) + \langle \nabla_U X_j, X_i \rangle \theta^j(V) - \langle \nabla_V X_j, X_i \rangle \theta^j(U) \\ &= U( \langle V, X_i \rangle ) - V( \langle U, X_i \rangle) - \theta^i([U, V]) - \sum_j \langle X_j, \nabla_U X_i \rangle \langle V, X_j \rangle + \sum_j \langle X_j, \nabla_V X_i \rangle \langle U, X_j \rangle \\ &= U( \langle V, X_i \rangle ) - V( \langle U, X_i \rangle) - \theta^i([U, V]) - \langle \nabla_U X_i, V \rangle + \langle \nabla_V X_i, U \rangle \\ &= \langle \nabla_U V, X_i \rangle + \langle V, \nabla_U X_i \rangle - \langle \nabla_V U, X_i \rangle - \langle U, \nabla_V X_i \rangle - \theta^i([U, V]) - \langle \nabla_U X_i, V \rangle + \langle \nabla_V X_i, U \rangle \\ &= \langle \nabla_U V, X_i \rangle - \langle \nabla_V U, X_i \rangle - \theta^i([U, V]) \\ &= \theta^i(T(U, V)) \end{array} \)

Krümmung ed

Die Ableitung von \[\omega\] ist

\( \begin{array}{rl} d{\omega^i}_j(U, V) &= U ( {\omega^i}_j(V)) - V ( {\omega^i}_j(U)) - {\omega^i}_j([U, V]) \\ & = \langle \nabla_U \nabla_V X_j, X_i \rangle + \langle \nabla_V X_j, \nabla_U X_i \rangle - \langle \nabla_V \nabla_U X_j, X_i \rangle - \langle \nabla_U X_j, \nabla_V X_i \rangle - \langle \nabla_{[U, V]} X_j, X_i \rangle \end{array} \)

Andererseits ist

\( \begin{array}{rl} ({\omega^i}_k \wedge {\omega^k}_j)(U, V) &= {\omega^i}_k(U) {\omega^k}_j(V) - {\omega^i}_k(V) {\omega^k}_j(U) \\ &= \sum_k \langle \nabla_U X_k, X_i \rangle \langle \nabla_V X_j, X_k \rangle - \sum_k \langle \nabla_V X_k, X_i \rangle \langle \nabla_U X_j, X_k \rangle \\ &= -\sum_k \langle X_k, \nabla_U X_i \rangle \langle \nabla_V X_j, X_k \rangle + \sum_k \langle X_k, \nabla_V X_i \rangle \langle \nabla_U X_j, X_k \rangle \\ &= - \langle \nabla_U X_i, \nabla_V X_j \rangle + \langle \nabla_V X_i, \nabla_U X_j \rangle \end{array} \)

Deshalb ist

\[ {\Omega^i}_j(U, V) := d{\omega^i}_j(U, V) + ({\omega^i}_k \wedge {\omega^k}_j)(U, V) = \langle \nabla_U \nabla_V X_j, X_i \rangle - \langle \nabla_V \nabla_U X_j, X_i \rangle - \langle \nabla_{[U, V]} X_j, X_i \rangle \]

Also \[ {\Omega^i}_j(U, V) = \theta^i( \langle R(U, V) X_j ) \]

Beispiel ed

Die Sphäre (ohne Nord- und Südpol) sei parametrisiert durch \[p(\phi, \vartheta) = \begin{pmatrix} \cos(\phi) \sin(\vartheta) \\ \sin(\phi) \sin(\vartheta) \\ \cos(\vartheta) \end{pmatrix} \] mit \[\partial_\phi p = \begin{pmatrix} -\sin(\phi) \sin(\vartheta) \\ \cos(\phi) \sin(\vartheta) \\ 0 \end{pmatrix} \] und \[\partial_\vartheta p = \begin{pmatrix} \cos(\phi) \cos(\vartheta) \\ \sin(\phi) \cos(\vartheta) \\ -\sin(\vartheta) \end{pmatrix} \], somit bilden \[X_\phi = \frac{1}{\sin(\vartheta)} \partial_\phi p \] und \[X_\vartheta = \partial_\vartheta p \] ON-Basisfelder. Die Dualbasisfelder dazu sind

\[ \theta_\phi = \sin(\vartheta) d\phi, \, \theta_\vartheta = d\vartheta \]

Die Ableitungen sind:

\[ d\theta_\phi = \cos(\vartheta) d\vartheta \wedge d\phi = - \frac{\cos(\vartheta)}{\sin(\vartheta)} \theta_\phi \wedge \theta_\vartheta, \, d\theta_\vartheta = 0 \]

\[ \begin{pmatrix} d\theta_\phi \\ d\theta_\vartheta \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 0 & \frac{\cos(\vartheta)}{\sin(\vartheta)} \theta_\phi \\ -\frac{\cos(\vartheta)}{\sin(\vartheta)} \theta_\phi & 0 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} \theta_\phi \\ \theta_\vartheta \end{pmatrix} \]

Es gilt \[ \omega \wedge \omega = 0\] und damit

\[ \Omega = d\omega = \begin{pmatrix} 0 & \left( \frac{-\sin}{\sin} - \frac{\cos \cos}{\sin^2} \right) d\vartheta \wedge \theta_\phi - \frac{\cos}{\sin}\frac{\cos}{\sin} \theta_\phi \wedge \theta_\vartheta \\ \dots & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \theta_\phi \wedge \theta_\vartheta \\ - \theta_\phi \wedge \theta_\vartheta & 0 \end{pmatrix} \]

Formulierung mit Transformationsmatrix ed

Sei \[M\] mit Parametern \[x^\mu\] gegeben. Daraus ergibt sich die Metrik \[ g_{\mu\nu} = \langle \partial_\mu, \partial_\nu \rangle \]. Man kann ein Matrixfeld \[{e_i}^\mu\] (mit Inverser \[{E_\mu}^i\]) finden, sodass

\[X_i = {e_i}^\mu \, \partial_\mu\]

\[ \delta_{ij} = \langle X_i, X_j \rangle = {e_i}^\mu \, g_{\mu\nu} \, {e_j}^\nu \; \Leftrightarrow \; g_{\mu\nu} = {E_\mu}^i \, \delta_{ij} \, {E_\nu}^j \; \Leftrightarrow \; g = E \, E^T \]

Die Dualfelder sind

\[ \theta^i = {E_\mu}^i \, dx^\mu \]

Deren Ableitungen sind

\[ d\theta^i = d{E_\mu}^i \wedge dx^\mu = {e_j}^\mu \, d{E_\mu}^i \wedge \theta^j \]