Cartan Struktur Gleichungen ed

Lassen die Krümmung aus Differentialformen berechnen. Siehe Riemannsche Geometrie

Gleichungen ed

Seien \( \theta^i, \, i = 1 \dots n \) orthonormale 1-Formen auf \[M\].

\( d\theta^i = - {\omega^i}_j \wedge \theta^j \)

\( d{\omega^i}_j = - {\omega^i}_k \wedge {\omega^k}_j + {\Omega^i}_j \)

Die so eindeutig definierten matrixwertigen 1- und 2-Formen \[\omega, \Omega\] sind die Zusammenhangs- und Krümmungsformen.

Verbindung zu Tensoren ed

Beispiel ed

Die Sphäre (ohne Pole) sei parametrisiert durch \[p(\phi, \vartheta) = \begin{pmatrix} \cos(\phi) \sin(\vartheta) \\ \sin(\phi) \sin(\vartheta) \\ \cos(\vartheta) \end{pmatrix} \], \[X_\phi = 1/\sin(\vartheta) \partial_\phi p \] und \[X_\vartheta = \partial_\vartheta p \] bilden ein ON-Basisfelder. Die Dualbasisfelder sind

\[ \theta_\phi = \sin(\vartheta) d\phi, \, \theta_\vartheta = d\vartheta \]

Die Ableitungen sind:

\[ d\theta_\phi = \cos(\vartheta) d\vartheta \wedge d\phi = - \frac{\cos(\vartheta)}{\sin(\vartheta)} \theta_\phi \wedge \theta_\vartheta, \, d\theta_\vartheta = 0 \]

\[ \begin{pmatrix} d\theta_\phi \\ d\theta_\vartheta \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 0 & \frac{\cos(\vartheta)}{\sin(\vartheta)} \theta_\phi \\ -\frac{\cos(\vartheta)}{\sin(\vartheta)} \theta_\phi & 0 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} \theta_\phi \\ \theta_\vartheta \end{pmatrix} \]

Es gilt \[ \omega \wedge \omega = 0\] und damit

\[ \Omega = d\omega = \begin{pmatrix} 0 & \left( \frac{-\sin}{\sin} - \frac{\cos \cos}{\sin^2} \right) d\vartheta \wedge \theta_\phi \\ \dots & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sin^2} \begin{pmatrix} 0 & \theta_\phi \wedge \theta_\vartheta \\ - \theta_\phi \wedge \theta_\vartheta & 0 \end{pmatrix} \]