Buch:Group Theory (Wigner) ed

Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra von Eugene P. Wigner

Table of Contents

Kapitel 5: Pertubation Theory ed

gelöstes Eigenwertproblem: \( H \psi_k = E_k \psi_k \)

neues Problem: \( (H + \lambda H') \phi_k = F_k \phi_k \) , Entwicklung: \( F_k = E_k + \lambda E'_k + \lambda^2 E''_k \dots \) und \( \phi_k = \psi_k + \lambda \sum_l a_{kl} \psi_l + \lambda^2 \sum_l b_{kl} \psi_l \dots \)

einfache Lösung: \( F_k = E_k + \lambda H'_{kk} + \lambda^2 \sum_{l eq k} \frac{ | H'_{kl} |^2 }{E_k - E_l} \dots \) , ..Funktionen

Kapitel 9: The General Theory of Representation ed

Kapitel 11: Representations and Eigenfunctions ed

Gleichung \( H \Psi = E \Psi, \qquad \Psi(x_1, \dots x_n) \) wird betrachtet. Problem ist symmetrisch bezüglich Koordinatentrafos \( x' = R x, \qquad R \in G \) .

Zu festem Eigenwert \( E \) finden sich lin. unabh. Lösungsfunktionen \( \Psi_1, \dots, \Psi_l \) . \( G \) wirkt auf diesen Raum durch \( (R \Psi)(x) := \Psi(R^{-1} x) \) . Dies führt zu einer l-dimensionalen Darstellung

\( R \Psi_i = \sum_j D(R)_{ji} \Psi_j \)

Jedem Eigenwert gehört dann eine eigene Darstellung \( D^E \) der Symmetriegruppe.

Kapitel 13: The Symmetric Group ed

Gruppe der Permutationen von n Elementen. ...Zykeln

Darstellung durch Funktionen auf diskretem n-dimensionalem Raum, in jeder Dimension nur Wert +1 und -1. Funktionen \( s_k \) , die jeweils die k-Koordinate wieder geben. Raum der Funktionen, die nur +1 und -1 annehmen, besteht aus

$  \begin{array}{c}
1 \\
s_1, \dots , s_n \\
s_1 s_2, s_1 s_3, \dots , s_{n-1} s_n \\
\vdots \\
s_1 s_2 \dots s_n
\end{array} \( Jede Zeile k ist invarianter Darstellungsraum ( \) \Delta^k \( ) der Permutationen der Koordinaten. (reduzibel!) Irreduzible Darstellungen aus Dreiecksschema \) \Delta^0 = D^0 \quad \Delta^1 = D^0 + D^1 \quad \dots \quad \Delta^{n-1} = D^0 + D^1 \quad \Delta^n = D^0 \( . Dimension ist ( \) k \le (n - 1) /2 \( ) \) {n - 1 \choose k} - { n - 1 \choose k - 1} \( . == Kapitel 14 == ; 2d reine Rotationen abelsch, Standard äquivalent zu: \) R(\phi) = \left( \begin{array}{cc} e^{-i\phi} & 0 \\ 0 & e^{i\phi} \end{array} \right) \( , jedes Element eigene Klasse wegen \) R(k 2 \pi) = 1, \quad k \in \mathbb Z \( und Fouriertheorie, sind die irred. Darstellungen genau \) D^k(\phi) = ( e^{i k \phi} ) \( . (alle 1d) ; 2d Rotation + Reflektion nicht-abelsch, ...irred: \) R^m(\phi, +1) = \left( \begin{array}{cc} e^{-i m \phi} & 0 \\ 0 & e^{i m \phi} \end{array} \right) \quad R^m(\phi, -1) = \left( \begin{array}{cc} 0 & e^{i m \phi} \\ e^{-i m \phi} & 0 \end{array} \right) $ .... aber für m=0 1d...

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