Atomphysik ed
Quantenmechanik ed
...Grundlagen vorrausgesetzt!
harmonischer Oszilator ed
Schrödingergleichung (SGL): \( - \frac{ \hbar^2 }{ 2 m } \frac{ d^2\Psi }{ dx^2 } + \frac 1 2 \omega^2 m x^2 \Psi = E \Psi \)
Ansatz: \( \Psi ( \xi ) = H( \xi ) e^{ - \xi^2 /2 } \) (mit \( \xi = x \sqrt{ m \omega / \hbar } \) ) -> Hermite-DGL
Lösung: Hermite-Polynome \( H_ u ( \xi ) = ( -1 )^ u e^{ \xi^2 } \frac{ d^ u }{ d\xi^ u } e^{ - \xi^2 } \)
kugelsymmetrisches Potential ed
Kugel-Koordinaten: \( \bigtriangleup = \frac 1 { r^2 } \partial_r ( r^2 \partial_r ) + \frac 1 { r^2 \mathrm{sin} \theta } \left( \partial_\theta ( \mathrm{sin} \theta \partial_\theta ) + \partial^2_\phi \right) \)
Ansatz: \( \Psi ( r , \theta , \phi ) = R ( r ) \Theta ( \theta ) \Phi ( \phi ) \)
$ \Phi_m ( \phi ) = \frac 1 { \sqrt{ 2 \pi } } e^{ i m \phi } $ $ \partial_\xi \left( ( 1 - \xi )^2 \partial_\xi \Theta \right) + C_2 \Theta = 0 , \ \ \ \xi := \mathrm{cos} \theta $ '''Legender-DGL'''-> \( P^m_l ( \mathrm{cos} \theta ) \) assoziierte Legendre-Funktionen.... \( Y^m_l ( \theta , \phi ) = P^m_l ( \mathrm{cos} \theta ) \Phi_m ( \phi ) \) Kugel-Flächen-Funktionen