Atomphysik ed

Table of Contents

Quantenmechanik ed

...Grundlagen vorrausgesetzt!

harmonischer Oszilator ed

Schrödingergleichung (SGL): \( - \frac{ \hbar^2 }{ 2 m } \frac{ d^2\Psi }{ dx^2 } + \frac 1 2 \omega^2 m x^2 \Psi = E \Psi \)

Ansatz: \( \Psi ( \xi ) = H( \xi ) e^{ - \xi^2 /2 } \) (mit \( \xi = x \sqrt{ m \omega / \hbar } \) ) -> Hermite-DGL

Lösung: Hermite-Polynome \( H_ u ( \xi ) = ( -1 )^ u e^{ \xi^2 } \frac{ d^ u }{ d\xi^ u } e^{ - \xi^2 } \)

kugelsymmetrisches Potential ed

Kugel-Koordinaten: \( \bigtriangleup = \frac 1 { r^2 } \partial_r ( r^2 \partial_r ) + \frac 1 { r^2 \mathrm{sin} \theta } \left( \partial_\theta ( \mathrm{sin} \theta \partial_\theta ) + \partial^2_\phi \right) \)

Ansatz: \( \Psi ( r , \theta , \phi ) = R ( r ) \Theta ( \theta ) \Phi ( \phi ) \)

$  \Phi_m ( \phi ) = \frac 1 { \sqrt{ 2 \pi } } e^{ i m \phi }  $ 

$  \partial_\xi \left( ( 1 - \xi )^2 \partial_\xi \Theta \right) + C_2 \Theta = 0 , \ \ \ \xi := \mathrm{cos} \theta  $  '''Legender-DGL'''

-> \( P^m_l ( \mathrm{cos} \theta ) \) assoziierte Legendre-Funktionen.... \( Y^m_l ( \theta , \phi ) = P^m_l ( \mathrm{cos} \theta ) \Phi_m ( \phi ) \) Kugel-Flächen-Funktionen

Wasserstoffatom ed

Grundlagen ed

Schwerpunktkoordinaten...etc

$  \Psi ( r , \theta , \phi ) = R ( r ) Y^m_l ( \theta , \phi )  $ , Radial-Gleichung:  $  \partial^2_r R + \frac 2 r \partial_r R + \left( \frac{ 2 \mu }{ \hbar^2 } \left( E + \frac{ Z^2 e^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 r } \right) - \frac{ l ( l + 1 ) }{ r^2 } \right) R = 0  $

Grenzfall \( r \rightarrow \infty \)

$  R ( r ) = \frac A r e^{ i k r } + \frac B r e^{ - i k r }  $  (einlaufende + auslaufende Welle)

allgemein

Laguere-Polynome \( R ( r ) = u ( r ) e^{ - \kappa r } \ \ \Rightarrow \ \ \partial^2_r u + 2 ( \frac 1 r - \kappa ) \partial_r u + \left( \frac{ 2 u - 2 \kappa } r - \frac{ l ( l + 1 ) }{ r^2 } \right) u = 0 \)

Energie: \( E_n = - R_y \frac{ \mu Z^2 e^4 }{ 8 \epsilon_0^2 h^2 n^2 } = - \frac 12 \mu c^2 \alpha^2 \frac{ Z^2 }{ n^2 } \)

Zeeman-Effekt ed

halbklassisch: El. auf Kreisbahn um Kern -> Strom -> magnetisches Moment \( \vec \mu = - \frac e { 2 m_e } \vec l \)

Energie \( \Delta E = - \vec \mu \vec B = \mu_b m_l B , \ \ \ \mu_b = \frac{ e \hbar }{ 2 m_e } \)

-> Aufpsaltung im B-Feld (aber nur, solange Gesamt-Spin = 0, damit der kein Moment eigenes erzeugt...! -> anomaler Zeemaneffekt)

relativistische Korrektur ed

relativistische Energie-Impuls-Beziehung -> Taylor-Entwicklung in p -> \( E = \left( \frac{ p^2 }{ 2 m } + E_{pot} \right) - \frac{ p^4 }{ 8 m^3 c^2 } \cdots = E_{kl} - \Delta E_{rel} \)

Für das H-Atom ergibt sich \( \Delta E_{rel} = \frac{ E_{kl} Z^2 \alpha^2 } n \left( \frac 3 { 4 n } - \frac 1 { l + 1/2 } \right) \) (Darwin-Term)

Dies ist l-abhängig! und am größten für den Grundzustand (n=1, l=0)

Feinstruktur (Spin-Bahn-Kopplung) ed

halbklassisch: aus Sicht des El. kreist der Kern um das El -> Strom -> B-Feld \( \vec B_l \) . Andererseits besitzt das El. mit dem Spin ein magnetisches Moment \( \mu_s \)

Energie: \( \Delta E = - \vec \mu_s \vec B_l = \frac{ \mu_0 Z e^2 }{ 8 \pi m_e^2 r^3 } \vec s \cdot \vec l \)

Um diesen Term auszuwerten, müssen die Eigenzustände gefunden werden. Diese gehören zum Gesamtdrehimpuls \( \vec j := \vec l + \vec s \) hiermit wird \( \vec s \cdot \vec l = \frac 12 ( \vec j^2 - \vec l^2 - \vec s^2 ) = \frac 12 \hbar^2 \left( j ( j + 1 ) - l ( l + 1 ) - s ( s + 1 ) \right) \) (neue, gekoppelte Basis...)

Für das H-Atom ergibt sich durch auswerten von \( \langle r^3 \rangle \) und die größte Differenz (Spin parallel zu Bahn-Drehimpuls (j = l + 1/2) - Spin antiparallel (j = l - 1/2)): \( \Delta E_{ls} \propto \frac{ Z^4 }{ n^3 l ( l + 1 ) } \)

anomaler Zeeman-Effekt ed

Der Gesamtdrehimpuls j erzeugt ein magnetisches Moment \( \vec \mu_j = \vec \mu_l + \vec \mu_s = - \frac e { 2 m_e } ( \vec l + g_s \vec s ) \) mit dem Lande-Faktor \( g_s \approx 2 \) , wegen dem das Moment nicht mehr parallel zu j ist. (was die Sache komplizierter macht!)

Im B-Feld präzedieren wieder die Drehimpulse und damit die magnetischen Momente. Der Mittelwert ist \( \langle \mu_j \rangle_z = - m_j g_j \mu_b \) mit dem Lande-Faktor \( g_j = 1 + \frac{ j ( j + 1 ) + s ( s + 1 ) - l ( l + 1 ) }{ 2 j ( j + 1 ) } \)

Es ergibt sich die Energie \( E_m_j = m_j g_j \mu_B B \)

Hyperfeinstruktur ed

(kleiner als Dopplerbreite!)

Kern hat mechanischen Drehimpuls I (Kernspin) mit mag. Moment \( \vec \mu_I = \gamma_K \vec I = g_I \frac{ \mu_K } \hbar \vec I \) .

j erzeugt ein internes B-Feld, die Energie ist \( E_{I,j} = - \vec \mu_I \vec B_j \)

Es wird wieder ein gekoppelter Zustand benutzt: \( \vec F := \vec j + \vec I \) die Energie ist dann \( \Delta E_{HFS} = \frac A 2 \left( F ( F + 1 ) - j ( j + 1 ) - I ( I + 1 ) \right) \) mit \( A = \frac{ g_I \mu_K B_j }{ \sqrt{ j ( j + 1 ) } } \)

In sehr kleinen externen B-Feldern spaltet sich durch das mag. Moment von I wieder ein Zeeman-Spektrum auf. Wenn aber diese Aufspaltungsenergie größer wird, als die HFS-Energie, entkoppeln die Drehimpulse wieder und die WW zwischen El.Spin und externem B-Feld dominieren wieder (Paschen-Back-Effekt).

Zur HFS gehören auch

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