Atomphysik ed
Quantenmechanik ed
...Grundlagen vorrausgesetzt!
harmonischer Oszilator ed
Schrödingergleichung (SGL): \( - \frac{ \hbar^2 }{ 2 m } \frac{ d^2\Psi }{ dx^2 } + \frac 1 2 \omega^2 m x^2 \Psi = E \Psi \)
Ansatz: \( \Psi ( \xi ) = H( \xi ) e^{ - \xi^2 /2 } \) (mit \( \xi = x \sqrt{ m \omega / \hbar } \) ) -> Hermite-DGL
Lösung: Hermite-Polynome \( H_ u ( \xi ) = ( -1 )^ u e^{ \xi^2 } \frac{ d^ u }{ d\xi^ u } e^{ - \xi^2 } \)
kugelsymmetrisches Potential ed
Kugel-Koordinaten: \( \bigtriangleup = \frac 1 { r^2 } \partial_r ( r^2 \partial_r ) + \frac 1 { r^2 \mathrm{sin} \theta } \left( \partial_\theta ( \mathrm{sin} \theta \partial_\theta ) + \partial^2_\phi \right) \)
Ansatz: \( \Psi ( r , \theta , \phi ) = R ( r ) \Theta ( \theta ) \Phi ( \phi ) \)
$ \Phi_m ( \phi ) = \frac 1 { \sqrt{ 2 \pi } } e^{ i m \phi } $ $ \partial_\xi \left( ( 1 - \xi )^2 \partial_\xi \Theta \right) + C_2 \Theta = 0 , \ \ \ \xi := \mathrm{cos} \theta $ '''Legender-DGL'''-> \( P^m_l ( \mathrm{cos} \theta ) \) assoziierte Legendre-Funktionen.... \( Y^m_l ( \theta , \phi ) = P^m_l ( \mathrm{cos} \theta ) \Phi_m ( \phi ) \) Kugel-Flächen-Funktionen
Wasserstoffatom ed
Grundlagen ed
Schwerpunktkoordinaten...etc
$ \Psi ( r , \theta , \phi ) = R ( r ) Y^m_l ( \theta , \phi ) $ , Radial-Gleichung: $ \partial^2_r R + \frac 2 r \partial_r R + \left( \frac{ 2 \mu }{ \hbar^2 } \left( E + \frac{ Z^2 e^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 r } \right) - \frac{ l ( l + 1 ) }{ r^2 } \right) R = 0 $ - Grenzfall \( r \rightarrow \infty \)
$ R ( r ) = \frac A r e^{ i k r } + \frac B r e^{ - i k r } $ (einlaufende + auslaufende Welle)- allgemein
Laguere-Polynome \( R ( r ) = u ( r ) e^{ - \kappa r } \ \ \Rightarrow \ \ \partial^2_r u + 2 ( \frac 1 r - \kappa ) \partial_r u + \left( \frac{ 2 u - 2 \kappa } r - \frac{ l ( l + 1 ) }{ r^2 } \right) u = 0 \)
Energie: \( E_n = - R_y \frac{ \mu Z^2 e^4 }{ 8 \epsilon_0^2 h^2 n^2 } = - \frac 12 \mu c^2 \alpha^2 \frac{ Z^2 }{ n^2 } \)
Zeeman-Effekt ed
halbklassisch: El. auf Kreisbahn um Kern -> Strom -> magnetisches Moment \( \vec \mu = - \frac e { 2 m_e } \vec l \)
Energie \( \Delta E = - \vec \mu \vec B = \mu_b m_l B , \ \ \ \mu_b = \frac{ e \hbar }{ 2 m_e } \)
-> Aufpsaltung im B-Feld (aber nur, solange Gesamt-Spin = 0, damit der kein Moment eigenes erzeugt...! -> anomaler Zeemaneffekt)
relativistische Korrektur ed
relativistische Energie-Impuls-Beziehung -> Taylor-Entwicklung in p -> \( E = \left( \frac{ p^2 }{ 2 m } + E_{pot} \right) - \frac{ p^4 }{ 8 m^3 c^2 } \cdots = E_{kl} - \Delta E_{rel} \)
Für das H-Atom ergibt sich \( \Delta E_{rel} = \frac{ E_{kl} Z^2 \alpha^2 } n \left( \frac 3 { 4 n } - \frac 1 { l + 1/2 } \right) \) (Darwin-Term)
Dies ist l-abhängig! und am größten für den Grundzustand (n=1, l=0)