zur geometrischen Reihe ed

Für \( \vert q \vert \lt 1 \) gilt: \( \sum_{n=0}^\infty q^n = \frac 1 { 1 - q } \) .

Ein kleiner Beweis für \( q = \frac 1 n, \ \ \ n \gt 1 \) :

In der n-adischen Darstellung (n=10: Dezimalsystem) gilt \( q = \frac 1 n = 0{,}1 \) und entsprechend \( q^2 = \frac 1 {n^2} = 0{,}01 \) ...etc...

Somit \( \sum_{n=0}^\infty q^n = 1{,}111111\ldots \)

Andererseite \( \frac 1 { 1 - q } = 1{,}111111\ldots \) , denn \( \frac 1 { 1 - q } = \frac 1 { 1 - \frac 1 n } = \frac n { n - 1 } = 1 \ \mathrm{Rest} \ 1 \) . In jedem weiteren Teilungsschritt gibt es dann jeweils eine Verschiebung der Stellen.

(für \( n = 2 \) funktioniert die Rechnung zwar auch, aber eher schwammig...)