relativistische Feldmechanik ed

Ein Versuch, speziell-relativistische Mechanik und Elektrodynamik (weiter) zu verbinden und entweder ohne Materie oder ohne Felder auszukommen. Das eine wäre dann nur die Interpretation des jeweils anderen. Dazu muss erst die Punkt-Mechanik der speziellen Relativitätstheorie zu einer Feldmechanik umgebogen werden.

relativistische Punktmechanik ed

Ein Punktteilchen bewege sich auf der Kurve \( x^\mu ( s ) \) , wobei s der Bogenlängenparameter sei ( \( s = c \tau \) ). Die Geschwindigkeit u wird als Ableitung nach der Eigenzeit definiert:

\( u^\mu (\tau) = \frac{ dx^\mu }{ d\tau } (\tau) \)

Dieser Tangentialvektor hat für alle Punkte der Kurve die selbe Länge (Ableitung nach dem Bogenlängenparameter...). Man kann auch noch die Beschleunigung als zweite Ableitung definieren:

\( b^\mu = \frac{ d^2x^\mu }{ d\tau^2 } = \frac{ du^\mu }{ d\tau } \)

Das relativistische Kraftgesetz lautet nun:

\( F^\mu = m b^\mu \)

\[F\] ist die Kraft und m die (Ruhe-)Masse. Da \[b\] die Ableitung eines Einheitsvektors nach der Bogenlänge ist (bis auf konstante Vielfache), steht es senkrecht auf der Geschwindigkeit \[u\] und somit auch senkrecht auf der Kurve, das schränkt die möglichen Kräfte schon von Anfang an ein. Die Lorentzkraft erfüllt aber "zufällig" genau diese Bedingung!

Elektrodynamik ed

Die Stromdichte einer (bewegten) Ladungsdichte \( \rho_q \) ist \( j^\mu = \rho_q u^\mu \) und fasst den klassischen Strom und die Ladungsdichte zusammen.

Die (E- und B-) Felder werden im Feldstärketensor F zusammengefasst. Die Maxwellgleichungen lassen sich mit diesen Größen formulieren (passendes Einheitensystem):

\( \begin{array}{c} \partial_\nu F^{\nu\mu} = \mu_0 j^\mu \\ \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \partial_\beta F_{\gamma\delta} = 0 \end{array} \)

Die Lorentzkraft auf ein Teilchen der Ladung q und der Geschwindigkeit u ergibt sich z:

\( F^\mu = q F^{\mu\nu} u_\nu \)

Für eine Stromdichte ergibt sich eine Kraftdichte:

\( f^\mu = F^{\mu\nu} j_\nu \)

Feldmechanik ed

Gegeben sei ein Geschwindigkeitsfeld \( u^\mu (x^\nu) = u^\mu (x) \) und ein Skalarfeld der Massendichte \( \rho_m (x) \) , dann ist die Impulsdichte \( p^\mu (x) = \rho_m (x) u^\mu (x) \) .

Ein paar Überlegungen (...keine Herleitung...) führen zur Erkenntnis, dass Massendichte und Geschwindigkeit nicht komplett unabhängig sein dürfen (da sich die Masse entlang des Geschwindigkeitsfeldes bewegt). Als Ergebnis erhält man die Divergenzfreiheit des Impulsdichtefeldes: \( \partial_\mu p^\mu = 0 \) .

Nun gibt es keine echten Kurven mehr, nach deren Bogenlängenableitung die Beschleunigung definiert werden kann. Es lassen sich aber fiktive Kurven durch das Geschwindigkeitsfeld legen, die dem Geschwindigkeitsfeld folgen. Die Kurve durch den Punkt x hat dort die Geschwindigkeit \( u^\mu (x) \) und durchläuft somit nach einem kleinen Stück Eigenzeit \( d\tau \) den Punkt \( y^\mu = x^\mu + dx^\mu = x^\mu + u^\mu (x) d\tau \) . Mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten an den beiden Punkten x und y lässt sich eine Beschleunigung berechnen:

\( b^\mu (x) = \frac{ du^\mu }{ d\tau } (x) = \frac{ u^\mu (y) - u^\mu (x) }{ d\tau } = \frac{ u^\mu ( x^\nu + u^\nu (x) d\tau ) - u^\mu (x) }{ d\tau } \)

Verwendung des totalen Differentials und der Taylorentwicklung von u:

\( u ( x^\mu + dx^\mu) = u ( x^\mu ) + ( \partial_\alpha u ( x^\mu ) ) \cdot dx^\alpha \)

und somit:

\( b^\mu (x) = \frac{ u^\mu ( x^\nu ) + ( \partial_\alpha u^\mu ( x^\nu) ) \cdot u^\alpha (x) d\tau - u^\mu (x) }{ d\tau } = \frac{ ( \partial_\alpha u (x) ) \cdot u^\alpha (x) d\tau }{ d\tau } = ( \partial_\alpha u^\mu (x) ) \cdot u^\alpha (x) \)

oder kompakter formuliert: \( \begin{array}{|c|} \hline b^\mu = u^\nu \partial_\nu u^\mu \\ \hline \end{array} \) (Beschleunigungsfeld)

Das Kraftgesetz sollte somit lauten: \( f^\mu = \rho_m b^\mu = \rho_m u^\nu \partial_\nu u^\mu = p^\nu \partial_\nu u^\mu \)

Man kann jetzt auch noch den Energieimpulstensor definieren: \( T^{\mu\nu} = \rho_m u^\mu u^\nu = p^\mu u^\nu \) . Die Divergenz dieses Tensors ist \( \partial_\mu T^{\mu\nu} = ( \partial_\mu p^\mu ) u^\nu + p^\mu ( \partial_\mu u^\nu ) = 0 + \cdots = f^\mu \) , was sich mit offiziellen Formeln deckt und zumindest andeutet, dass wir uns bisher noch nicht komplett auf dem Holzweg befinden.

Vereinigungsversuch ed

Erste Annahme: Masse und Ladung besitzen die selbe Verteilung: \( \rho_q (x) = K \cdot \rho_m (x) \) , mit einer Konstanten K.

Damit wird aus der Stromdichte die Impulsdichte \( j^\mu = \rho_q u^\mu = K p^\mu \)

Man kann jetzt versuchen, alle mechanischen Größen (\[u, p, j, f\]) durch das EM-Feld \[F\] auszudrücken:

\( p = \frac{1}{K} j = \frac{1}{\mu_0 K} \partial_\alpha F^{\alpha \cdot} \)

\( \rho_m = \sqrt{ p \cdot p } = \frac{1}{\mu_0 K} \sqrt{ \partial_\alpha F^{\alpha \beta} \cdot \partial^\gamma F_{\gamma \beta} } \)

\( u = \frac{1}{\rho_m} p = \frac{\partial_\alpha F^{\alpha \cdot}}{\sqrt{ \partial_\alpha F^{\alpha \beta} \cdot \partial^\gamma F_{\gamma \beta} }} \)

Damit lässt sich das Kraftgesetz umschreiben von

\( p^\nu \partial_\nu u^\mu = f^\mu = F^{\mu\nu} j_\nu \)

zu

\( \frac{1}{\mu_0 K} \partial_\alpha F^{\alpha \nu} \cdot \partial_\nu \left( \frac{\partial_\alpha F^{\alpha \mu}}{\sqrt{ \partial_\alpha F^{\alpha \beta} \cdot \partial^\gamma F_{\gamma \beta} }} \right) = \frac{1}{\mu_0} F^{\mu\nu} \cdot \partial_\alpha F^{\alpha\nu} \)

etc...

Also könnte man Materie als reine Interpretation der Felder sehen, die diese Gleichung (sowie die 2. Maxwell-Gleichungen) erfüllen.

Man könnte das auch noch durch die Potentiale \[A\] ausdrücken, dann könnte man auf die 2. Maxwell-Gleichungen verzichten.