relativistische Feldmechanik ed

Ein Versuch, speziell-relativistische Mechanik und Elektrodynamik (weiter) zu verbinden und entweder ohne Materie oder ohne Felder auszukommen, das eine wäre dann jeweils nur die Interpretation des anderen. Dazu muss erst die Mechanik der speziellen relativitätstheorie zu einer Feldmechanik umgebogen werden.

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relativistische Punktmechanik ed

Ein Punktteilchen bewege sich auf der Kurve \( x^\mu ( s ) \) , wobei s der Bogenlängenparameter sei ( \( s = c \tau \) ). Die Geschwindigkeit u wird als Ableitung nach der Eigenzeit definiert:

$  u^\mu (\tau) = \frac{ dx^\mu }{ d\tau } (\tau)  $

Dieser Tangentialvektor hat für alle Punkte der Kurve die selbe Länge (Ableitung nach dem Bogenlängenparameter...). Man kann auch noch die Beschleunigung als zweite Ableitung definieren:

$  b^\mu = \frac{ d^2x^\mu }{ d\tau^2 } = \frac{ du^\mu }{ d\tau }  $

Das relativistische Kraftgesetz lautet nun:

$  F^\mu = m b^\mu  $

F ist die Kraft und m die (Ruhe-)Masse. Da b die Ableitung eines Einheitsvektors nach der Bogenlänge ist (bis auf konstante Vielfache), steht es senkrecht auf der Geschwindigkeit u und somit auch senkrecht auf der Kurve, das schränkt die möglichen Kräfte schon von Anfang an ein. Die Lorentzkraft erfüllt aber "zufällig" genau diese Bedingung!

Elektrodynamik ed

Die Stromdichte einer (bewegten) Ladungsdichte \( \rho_q \) ist \( j^\mu = \rho_q u^\mu \) und fasst den klassischen Strom und die Ladungsdichte zusammen.

Die (E- und B-) Felder werden im Feldstärketensor F zusammengefasst. Die Maxwellgleichungen lassen sich mit diesen Größen formulieren (passendes Einheitensystem):

$ 
 \begin{array}{c}
   \partial_
u F^{u\mu} = \mu_0 j^\mu \\
   \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \partial_\beta F_{\gamma\delta} = 0
 \end{array}
$

Die Lorentzkraft auf ein Teilchen der Ladung q und der Geschwindigkeit u ergibt sich z:

$  F^\mu = q F^{\mu
u} u_u \( Für eine Stromdichte ergibt sich eine Kraftdichte: \) f_\mu = F^{\muu} j_u $

Feldmechanik ed