Pragmatische Spinorrechnung ed

2-Komponenten Spinoren ed

Wir befinden uns in einer Lorentz-Basis mit\[ \eta=\operatorname{diag}(+1,-1,-1,-1) \, . \]

Vektoren ed

Identifizierung ed

Schreibe die Komponenten eines 4er-Vektors \(x^\mu\) als hermitesche Matrix\[ (X^{A\dot U}) = \begin{pmatrix} x^0 + x^3 & x^1 - i x^2 \\ x^1 + i x^2 & x^0 - x^3 \end{pmatrix} = x^0 E + x^i \sigma_i = x^\mu \sigma_\mu \]bzw.\footnote{Großbuchstaben-Indizes \(\in\{0, 1\}\)}\[ X^{A \dot U} = x^\mu \sigma_\mu^{A \dot U} \, . \]

Diese Abbildung ist eineindeutig. Es gilt\[ \det X^{A \dot U} = (x^0)^2 - (x^3)^2 - (x^1)^2 - (x^2)^2 = x_\mu x^\mu \, . \]

Transformation ed

Für \(L \in SL(2, \mathbb C) = \{ M \in \mathbb C^{2x2}, \det M = 1\}\) gilt, dass die Matrix\[ \begin{array}{rl} X' &= L X L^\star \\ X'^{A \dot U} &= {L^A}_B \, X^{B \dot V} \, {\bar L}^{\dot U}{}_{\dot V} \end{array} \]ebenfalls hermitesch ist und damit wieder einem 4er-Vektor \(x'^\mu\) entspricht. Zusätzlich gilt\[ \begin{array}{rl} \det X' &= \det (L X L^\star) = \det X \\ \Rightarrow x'^\mu x'_\mu &= x^\mu x_\mu \end{array} \]und man kann damit die Gruppe \(SL(2, \mathbb C)\) mit den Lorentz-Transformationen identifizieren. Diese Identifizierung ist allerdings nicht eineindeutig, da z.B. \(\pm E \in SL(2, \mathbb C)\) jeweils dieselbe (Identitäts-) Lorentz-Transformation ergeben.

Eine explizite Formel ist (mit Drehung um Achse \(\vec n\) mit Winkel \(\theta\) und Boost \(\vec a\))\[ L = \exp{((\vec a - i \theta \vec n) \vec \sigma / 2)} \, . \]

In diesem Bild verhalten sich Vektoren wie Tensoren 2. Stufe im Spinorraum.

Spin-Vektoren ed

Definition ed

Der Raum \(V = \mathbb C^2\) mit der obigen Darstellung der Gruppe \(SL(2, \mathbb C)\) wird als Spin-Raum bezeichnet.

Spin-Vektoren sind Elemente \(\xi \in V\), die sich wie Spin-Tensoren (Spinoren) 1. Stufe transformieren:\[ \xi'^A = {L^A}_B \, \xi^B \, . \]Spin-Vektoren, die sich mit der komplex konjugierten Lorentz-Transformation transformieren, erhalten einen gepunkteten Index:\[ \xi'^{\dot U} = {\bar L^{\dot U}}{}_{\dot V} \, \xi^{\dot V} \, . \]Der Raum \(\mathbb C^2\) mit dieser Darstellung sei hier mit \(\bar V\) bezeichnet. Es gilt \(\xi \in V \Leftrightarrow \bar \xi \in \bar V\).

Interpretation ed

Spin-Vektoren sind eng mit Lichtvektoren verwandt. Einerseits kann aus jedem Spin-Vektor \(\xi^A\) ein Spinor 2. Stufe\[ \begin{array}{rl} X &= \xi \otimes \bar \xi \\ X^{A \dot U} &= \xi^A \bar \xi^{\dot U} \, , \end{array} \]konstruiert werden der hermitesch ist, weswegen man ihm einen Vektor\[ X^{A \dot U} = x^\mu \, \sigma_\mu^{A \dot U} \]%oder explizit%\begin{equation}% x^\mu = - \frac 12 X^{A \dot U} \, \sigma^\mu_{A \dot U} = - \frac 12 X^{A \dot U} \, \eta^{\mu\nu} \, \epsilon_{AB} \, \epsilon_{\dot U \dot V} \, \sigma_\nu^{B \dot V}%\end{equation}zuordnen kann. Hierbei gilt \(\det X^{A \dot U} = 0 = x^\mu x_\mu\) mit \(x^0 \ge 0\), es handelt sich also um einen Lichtvektor, der in die Zukunft zeigt.

%Die Basis-Spin-Vektoren \((1, 0)\) und \((0, 1)\) ergeben z.B. die Lichtvektoren \((1, 0, 0, 1)/2\) und \((1, 0, 0, -1)/2\).

Andererseits kann für jeden (zukunftgerichteten) Lichtvektor ein Spin-Vektor gefunden werden. Für jeden gefundenen Spin-Vektor \(\xi^A\) entsprechen aber auch alle Spin-Vektoren mit Phasenfaktor \(e^{i \phi} \xi^A\) demselben Vektor. D.h. salopp\[ \mathrm{Spinvektor} = \mathrm{zukunftgerichteter Nullvektor} + \mathrm{Phase} \]

Spinoren ed

Allgemein kann man jedem 4er-Tensor einen Spinor mit doppelt sovielen Indizes zuordnen, z.B.:\[ {T^{A \dot U}}_{B \dot V} = \sigma_\mu^{A \dot U} \, \sigma^\nu_{B \dot V} \, {T^\mu}_\nu \, . \]und damit die Spinor-Algebra als Verallgemeinerung der Tensor-Algebra ansehen.

Definiere dazu\[ \sigma^\mu_{A \dot U} = \eta^{\mu\nu} \, \sigma_\nu^{B \dot V} \, \epsilon_{BA} \, \epsilon_{\dot V \dot U} \]mit\[ \begin{array}{rl} \sigma^\mu_{A \dot U} \, \sigma_\mu^{B \dot V} &= -2 \delta^B_A \, \delta^{\dot V}_{\dot U} \label{eq:sigma_contraction_vector}\\ \sigma^\mu_{A \dot U} \, \sigma_\nu^{A \dot U} &= -2 \delta^\mu_\nu \, . \end{array} \]

Kontraktionen in der Tensor-Algebra haben (fast) ihre direkten Entsprechungen in der Spinor-Algebra:\[ X^{A \dot U} \, Y _{A \dot U} = \sigma_\mu^{A \dot U} \, X^\mu \, \sigma^\nu_{A \dot U} \, Y_\nu = -2 X^\mu \, Y_\mu \, . \]

Den Faktor \(\sqrt{-2}^N\) könnte man man durch Skalieren der \(\sigma\)'s umgehen.

"Skalarprodukt" ed

Spinor-Indizes können über \(\epsilon^{AB} = \epsilon_{AB}\) gehoben und gesenkt werdenAchtung, Reihenfolge wichtig für Vorzeichen!:\[ \xi_A = \xi^B \, \epsilon_{BA} \, , \qquad \xi^A = \epsilon^{AB} \, \xi_B \, . \]Damit wird auf \(V\) ein "Skalarprodukt"\[ \{\xi, \omega\} = \xi_A \, \omega^A = \epsilon_{BA} \, \xi^B \, \omega^A = \xi^0 \omega^1 - \xi^1 \omega^0 \]definiert. Es ist antisymmetrisch:\[ \{\xi, \omega\} = -\{\omega, \xi\} \, . \]

Auch ist es verträglich mit der Darstellung:\[ \{\xi', \omega'\} = \{L \xi, L \omega\} = \det \left( L \begin{pmatrix} \xi^0 & \omega^0 \\ \xi^1 & \omega^1 \end{pmatrix} \right) = \det \begin{pmatrix} \xi^0 & \omega^0 \\ \xi^1 & \omega^1 \end{pmatrix} = \{\xi, \omega\} \, . \]

Interpretation ed

Beispiel für Lichtvektoren\[ X \simeq \xi \otimes \bar \xi, \qquad Y \simeq \eta \otimes \bar \eta \]gilt\[ \begin{array}{rl} -2 X_\mu Y^\mu &= \xi_A \, \sigma_\mu^{A \dot U} \, \bar \xi_{\dot U} \, \eta^B \, \sigma^\mu_{B \dot V} \, \bar \eta^{\dot V} \\ &\stackrel{\eqref{eq:sigma_contraction_vector}}{=} - 2 \, \xi_A \, \bar \xi_{\dot U} \, \eta^A \, \bar \eta^{\dot U} \\ &= -2 \{\xi, \eta\} \, \{\bar \xi, \bar \eta\} \\ &= -2 |\{\xi, \eta\}|^2 \end{array} \]

Zerlegung ed

Antisymmetrisierung ed

Da \(V\) nur 2-dimensional ist, gibt es wenige Möglichkeiten für antisymmetrische Spinoren. Für antisymmetrische Spinoren 2. Stufe gilt\[ \omega = \begin{pmatrix} 0 & c \\ - c & 0 \end{pmatrix} \qquad c \in \mathbb C \]also\[ \omega^{AB} = c \, \epsilon^{AB} \, . \]

Antisymmetrisierung mit 3 Indizes oder mehr ist immer trivial:\[ \omega^{[ABC]\dots} = 0 \]

Symmetrisierung ed

Ein total symmetrischer Spinor \(\omega\) \(n\)-ter Stufe kann durch \((n+1)\) komplexe Zahlen beschrieben werden:

Zerlegung ed

Jeder Spinor kann als Summe seiner Symmetrisierung und total symmetrischen Spinoren geringerer Stufe geschrieben werden, die mit \(\epsilon\)-Symbolen multipliziert werden... siehe Penrose...

Z.B.\[ \omega^{AB} = \omega^{(AB)} + \lambda \epsilon^{AB} \, , \qquad \lambda = \omega^{AB} \, \epsilon_{AB} \]

Dies entspricht der Zerlegung der Darstellung von \(SL(2, \mathbb C)\) auf dem Raum der Spinoren mit gegebenen Symmetrie-Eigenschaften in irreduzible Anteile. Die irreduziblen Darstellungen von \(SL(2, \mathbb C)\) sind genau diejenigen auf den total symmetrischen Spinorräumen.

Beispiel: Bivektor ed

Sei ein (reeller) antisymmetrischer Tensor 2. Stufe \(F^{\mu\nu}\) gegeben. Ihm entspricht ein Spinor 4. Stufe\[ F^{A \dot U B \dot V} = \sigma_\mu^{A \dot U} \, \sigma_\nu^{B \dot V} \, F^{\mu\nu} = \dots = \phi^{AB} \, \epsilon^{\dot U \dot V} + \phi^{\dot U \dot V} \, \epsilon^{AB} \]

Basen ed

Seien \(\kappa = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\iota = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) die kanonischen Spin-Basisvektoren. Es gilt\[ \{ \kappa, \iota \} = 1 \, . \]

Ihnen entsprechen 4er-Lichtvektoren\[ \kappa \otimes \bar \kappa \simeq (e_0 + e_3)/2, \qquad \iota \otimes \bar \iota \simeq (e_0 - e_3)/2 \, , \]In der Literatur wird dies gerne zu einer Basis des Minkowski-Raums ergänzt durch\[ \kappa \otimes \bar \iota \simeq (e_1 + i e_2)/2, \qquad \iota \otimes \bar \kappa \simeq (e_1 - i e_2)/2 \, . \]

%Über diese Relationen sind Spin- und

Ableitungen ed

Flacher Raum ed

Definition ed

Im flachen Raum können Spinoren komponentenweise nach Tangentialvektoren/Koordinaten abgeleiten werden:\[ \nabla_V \, \omega = V^\mu \, \partial_\mu \, \omega \]

Interessanter wird es, wenn man den 4er-Vektor-Index zu 2 Spinor-Indizes wandelt:\[ V^{A \dot U} \, \partial_{A \dot U} \, \omega = V^{A \dot U} \, \sigma^\mu_{A \dot U} \, \partial_\mu \, \omega \]

Dadurch kann auch eine Ableitung \(\nabla_\psi = \psi^{A \dot U} \, \partial_{A \dot U}\) für allgemeine (also nicht nur hermitesche) Spinoren 2. Stufe definiert werden. Dazu ist es praktisch zu sehen, dass jede Matrix in hermitesche und anti-hermitesche Anteile aufgespalten werden kann und eine anti-hermitesche Matrix immer selbst das \(i\)-fache einer hermiteschen Matrix ist:\[ M = H + A = H + i \tilde H \]D.h. jedem allgemeinen Spinor 2. Stufe entspricht ein komplexer 4er-Vektor\[ \psi^{A \dot U} = X^{A \dot U} + i Y^{A \dot U} \simeq X^\mu + i Y^\mu \]und damit entspricht die Ableitung nach einem allgemeinen Spinor 2. Stufe der komplexen Richtungsableitung\[ \nabla_\psi \, \omega = \nabla_{X + i Y} \, \omega = \nabla_X \, \omega + i \nabla_Y \, \omega \]

Pseudo-Dirac-Gleichung ed

Man könnte nun eine Art 2-Komponenten-Dirac-Gleichung bauen:\[ \begin{array}{rl} - i \hbar \, \sigma^\mu \, \partial_\mu \, \psi + m c \, \psi &= 0 \\ - i \hbar \, \sigma^\mu_{A \dot U} \, \partial_\mu \, \psi^{\dot U} + m c \, \delta_{A \dot U} \, \psi^{\dot U} &= 0 \\ - i \hbar \, \partial_{A \dot U} \, \psi^{\dot U} + m c \, \delta_{A \dot U} \, \psi^{\dot U} &= 0 \end{array} \]

Interessant ist hier der Ausdruck \(\delta_{A \dot U}\), der benötigt wird, um zwei Spinoren unterschiedlichen Transformationsverhaltens (gewöhnliche und konjugierte Darstellung) zu addieren. Um ein sinnvolles Transformationsverhalten zu erhalten, ist also diese Version naheliegend:\[ - i \hbar \, \partial_{A \dot U} \, \psi^{\dot U} + m c \, \bar \psi_A = 0 \]

Es ergibt sich auch hier ein Strom\[ j^\mu = \bar \psi^A \, \sigma^\mu_{A \dot U} \, \psi^{\dot U} \]mit einer Kontinuitätsgleichung\[ \partial_\mu j^\mu = 0 \, . \]Außerdem ist \(j\) genau der Vektor, der dem Spinor \(\psi\) zugeordnet werden kann. Das heißt auch, dass hier \(j\) ein Lichtvektor ist.

d'Alembert-Operator ed

Die Spin-Divergenz\[ \bar V \rightarrow V: \xi^{\dot U} \mapsto {\partial^A}_{\dot U} \, \xi^{\dot U} \]hat die besondere Eigenschaft, die Spinor-Stufe nicht zu ändern.

Es gilt\[ \partial_{A \dot U} \partial^{A \dot U} = \partial_\mu \sigma^\mu_{A \dot U} \partial^\nu \sigma_\nu^{A \dot U} = -2 \partial_\mu \partial^\mu \, . \]Damit kann die Spinor-Divergenz als "Wurzel" des d'Alembert-Operators angesehen werden.

Krümmung ed

Linearer Zusammenhang...

\[ \nabla_{A \dot U} \, \xi_B = \partial_{A \dot U} \, \xi^B + \xi^D \gamma_{A \dot U B D} \]

4-Komponenten Spinoren ed

Clifford-Algebren ed

Allgemeine (abstrakte Theorie) siehe Clifford Algebren