Pragmatische Spinorrechnung ed

2-Komponenten Spinoren ed

Wir befinden uns in einer Lorentz-Basis mit

\[ \eta=\operatorname{diag}(+1,-1,-1,-1) \, . \]

Vektoren ed

Identifizierung ed

Schreibe die Komponenten eines 4er-Vektors \[x^\mu\] als hermitesche Matrix

\[ (X^{A\dot U}) = \begin{pmatrix} x^0 + x^3 & x^1 - i x^2 \\ x^1 + i x^2 & x^0 - x^3 \end{pmatrix} = x^0 E + x^i \sigma_i = x^\mu \sigma_\mu \]

\[ X^{A \dot U} = x^\mu \sigma_\mu^{A \dot U} \, . \]

Diese Abbildung ist eineindeutig. Es gilt

\[ \det X^{A \dot U} = (x^0)^2 - (x^3)^2 - (x^1)^2 - (x^2)^2 = x_\mu x^\mu \, . \]

Transformation ed

Für \[L \in SL(2, \mathbb C) = \{ M \in \mathbb C^{2x2}, \det M = 1\}\] gilt, dass die Matrix

\[ \begin{array}{rl} X' &= L X L^\star \\ X'^{A \dot U} &= {L^A}_B \, X^{B \dot V} \, {\bar L}^{\dot U}{}_{\dot V} \end{array} \]

\[ \begin{array}{rl} \det X' &= \det (L X L^\star) = \det X \\ \Rightarrow x'^\mu x'_\mu &= x^\mu x_\mu \end{array} \]

Eine explizite Formel ist (mit Drehung um Achse \[\vec n\] mit Winkel \[\theta\] und Boost \[\vec a\])

\[ L = \exp{((\vec a - i \theta \vec n) \vec \sigma / 2)} \, . \]

In diesem Bild verhalten sich Vektoren wie Tensoren 2. Stufe im Spinorraum.

Spin-Vektoren ed

Definition ed

Der Raum \[V = \mathbb C^2\] mit der obigen Darstellung der Gruppe \[SL(2, \mathbb C)\] wird als Spin-Raum bezeichnet.

Spin-Vektoren sind Elemente \[\xi \in V\], die sich wie Spin-Tensoren (Spinoren) 1. Stufe transformieren:

\[ \xi'^A = {L^A}_B \, \xi^B \, . \]

\[ \xi'^{\dot U} = {\bar L^{\dot U}}{}_{\dot V} \, \xi^{\dot V} \, . \]

Interpretation ed

Spin-Vektoren sind eng mit Lichtvektoren verwandt. Einerseits kann aus jedem Spin-Vektor \[\xi^A\] ein Spinor 2. Stufe

\[ \begin{array}{rl} X &= \xi \otimes \bar \xi \\ X^{A \dot U} &= \xi^A \bar \xi^{\dot U} \, , \end{array} \]

\[ X^{A \dot U} = x^\mu \, \sigma_\mu^{A \dot U} \]

%Die Basis-Spin-Vektoren \[(1, 0)\] und \[(0, 1)\] ergeben z.B. die Lichtvektoren \[(1, 0, 0, 1)/2\] und \[(1, 0, 0, -1)/2\].

Andererseits kann für jeden (zukunftgerichteten) Lichtvektor ein Spin-Vektor gefunden werden. Für jeden gefundenen Spin-Vektor \[\xi^A\] entsprechen aber auch alle Spin-Vektoren mit Phasenfaktor \[e^{i \phi} \xi^A\] demselben Vektor. D.h. salopp

\[ \mathrm{Spinvektor} = \mathrm{zukunftgerichteter Nullvektor} + \mathrm{Phase} \]

Spinoren ed

Allgemein kann man jedem 4er-Tensor einen Spinor mit doppelt sovielen Indizes zuordnen, z.B.:

\[ {T^{A \dot U}}_{B \dot V} = \sigma_\mu^{A \dot U} \, \sigma^\nu_{B \dot V} \, {T^\mu}_\nu \, . \]

Definiere dazu

\[ \sigma^\mu_{A \dot U} = \eta^{\mu\nu} \, \sigma_\nu^{B \dot V} \, \epsilon_{BA} \, \epsilon_{\dot V \dot U} \]

\[ \begin{array}{rl} \sigma^\mu_{A \dot U} \, \sigma_\mu^{B \dot V} &= -2 \delta^B_A \, \delta^{\dot V}_{\dot U} \label{eq:sigma_contraction_vector}\\ \sigma^\mu_{A \dot U} \, \sigma_\nu^{A \dot U} &= -2 \delta^\mu_\nu \, . \end{array} \]

Kontraktionen in der Tensor-Algebra haben (fast) ihre direkten Entsprechungen in der Spinor-Algebra:

\[ X^{A \dot U} \, Y _{A \dot U} = \sigma_\mu^{A \dot U} \, X^\mu \, \sigma^\nu_{A \dot U} \, Y_\nu = -2 X^\mu \, Y_\mu \, . \]

Den Faktor \[\sqrt{-2}^N\] könnte man man durch Skalieren der \[\sigma\]'s umgehen.

"Skalarprodukt" ed

Spinor-Indizes können über \[\epsilon^{AB} = \epsilon_{AB}\] gehoben und gesenkt werden\footnote{Achtung, Reihenfolge wichtig für Vorzeichen!}:

\[ \xi_A = \xi^B \, \epsilon_{BA} \, , \qquad \xi^A = \epsilon^{AB} \, \xi_B \, . \]

\[ \{\xi, \omega\} = \xi_A \, \omega^A = \epsilon_{BA} \, \xi^B \, \omega^A = \xi^0 \omega^1 - \xi^1 \omega^0 \]

\[ \{\xi, \omega\} = -\{\omega, \xi\} \, . \]

Auch ist es verträglich mit der Darstellung:

\[ \{\xi', \omega'\} = \{L \xi, L \omega\} = \det \left( L \begin{pmatrix} \xi^0 & \omega^0 \\ \xi^1 & \omega^1 \end{pmatrix} \right) = \det \begin{pmatrix} \xi^0 & \omega^0 \\ \xi^1 & \omega^1 \end{pmatrix} = \{\xi, \omega\} \, . \]

Interpretation ed

Beispiel für Lichtvektoren

\[ X \simeq \xi \otimes \bar \xi, \qquad Y \simeq \eta \otimes \bar \eta \]

\[ \begin{array}{rl} -2 X_\mu Y^\mu &= \xi_A \, \sigma_\mu^{A \dot U} \, \bar \xi_{\dot U} \, \eta^B \, \sigma^\mu_{B \dot V} \, \bar \eta^{\dot V} \\ &\stackrel{\eqref{eq:sigma_contraction_vector}}{=} - 2 \, \xi_A \, \bar \xi_{\dot U} \, \eta^A \, \bar \eta^{\dot U} \\ &= -2 \{\xi, \eta\} \, \{\bar \xi, \bar \eta\} \\ &= -2 |\{\xi, \eta\}|^2 \end{array} \]

Zerlegung ed

Antisymmetrisierung ed

Da \[V\] nur 2-dimensional ist, gibt es wenige Möglichkeiten für antisymmetrische Spinoren. Für antisymmetrische Spinoren 2. Stufe gilt\begin{equation}\omega = \begin{pmatrix} 0 & c \\ - c & 0 \end{pmatrix} \qquad c \in \mathbb C\end{equation}also\begin{equation}\omega^{AB} = c \, \epsilon^{AB} \, .\end{equation}

Antisymmetrisierung mit 3 Indizes oder mehr ist immer trivial:\begin{equation}\omega^{[ABC]\dots} = 0\end{equation}

Symmetrisierung ed

Ein total symmetrischer Spinor \[\omega\] \[n\]-ter Stufe kann durch \[(n+1)\] komplexe Zahlen beschrieben werden:

\begin{tabular}{cccc}1 & 2 & \dots & \[n+1\] \\\hline\[\omega^{0 \dots 00}\] & \[\omega^{0 \dots 01}\] & \[\dots\] & \[\omega^{1 \dots 11}\]\end{tabular}

Zerlegung ed

Jeder Spinor kann als Summe seiner Symmetrisierung und total symmetrischen Spinoren geringerer Stufe geschrieben werden, die mit \[\epsilon\]-Symbolen multipliziert werden... siehe Penrose...

Z.B.

\[ \omega^{AB} = \omega^{(AB)} + \lambda \epsilon^{AB} \, , \qquad \lambda = \omega^{AB} \, \epsilon_{AB} \]

Dies entspricht der Zerlegung der Darstellung von \[SL(2, \mathbb C)\] auf dem Raum der Spinoren mit gegebenen Symmetrie-Eigenschaften in irreduzible Anteile. Die irreduziblen Darstellungen von \[SL(2, \mathbb C)\] sind genau diejenigen auf den total symmetrischen Spinorräumen.

Beispiel: Bivektor ed

Sei ein (reeller) antisymmetrischer Tensor 2. Stufe \[F^{\mu\nu}\] gegeben. Ihm entspricht ein Spinor 4. Stufe

\[ F^{A \dot U B \dot V} = \sigma_\mu^{A \dot U} \, \sigma_\nu^{B \dot V} \, F^{\mu\nu} = \dots = \phi^{AB} \, \epsilon^{\dot U \dot V} + \phi^{\dot U \dot V} \, \epsilon^{AB} \]

Basen ed

Seien \[\kappa = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\] und \[\iota = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\] die kanonischen Spin-Basisvektoren. Es gilt

\[ \{ \kappa, \iota \} = 1 \, . \]

Ihnen entsprechen 4er-Lichtvektoren

\[ \kappa \otimes \bar \kappa \simeq (e_0 + e_3)/2, \qquad \iota \otimes \bar \iota \simeq (e_0 - e_3)/2 \, , \]

\[ \kappa \otimes \bar \iota \simeq (e_1 + i e_2)/2, \qquad \iota \otimes \bar \kappa \simeq (e_1 - i e_2)/2 \, . \]

%Über diese Relationen sind Spin- und

Ableitungen ed

Flacher Raum ed

Definition ed

Im flachen Raum können Spinoren komponentenweise nach Tangentialvektoren/Koordinaten abgeleiten werden:

\[ \nabla_V \, \omega = V^\mu \, \partial_\mu \, \omega \]

Interessanter wird es, wenn man den 4er-Vektor-Index zu 2 Spinor-Indizes wandelt:

\[ V^{A \dot U} \, \partial_{A \dot U} \, \omega = V^{A \dot U} \, \sigma^\mu_{A \dot U} \, \partial_\mu \, \omega \]

Dadurch kann auch eine Ableitung \[\nabla_\psi = \psi^{A \dot U} \, \partial_{A \dot U}\] für allgemeine (also nicht nur hermitesche) Spinoren 2. Stufe definiert werden. Dazu ist es praktisch zu sehen, dass jede Matrix in hermitesche und anti-hermitesche Anteile aufgespalten werden kann und eine anti-hermitesche Matrix immer selbst das \[i\]-fache einer hermiteschen Matrix ist:

\[ M = H + A = H + i \tilde H \]

\[ \psi^{A \dot U} = X^{A \dot U} + i Y^{A \dot U} \simeq X^\mu + i Y^\mu \]

\[ \nabla_\psi \, \omega = \nabla_{X + i Y} \, \omega = \nabla_X \, \omega + i \nabla_Y \, \omega \]

Pseudo-Dirac-Gleichung ed

Man könnte nun eine Art 2-Komponenten-Dirac-Gleichung bauen:

\[ \begin{array}{rl} - i \hbar \, \sigma^\mu \, \partial_\mu \, \psi + m c \, \psi &= 0 \\ - i \hbar \, \sigma^\mu_{A \dot U} \, \partial_\mu \, \psi^{\dot U} + m c \, \delta_{A \dot U} \, \psi^{\dot U} &= 0 \\ - i \hbar \, \partial_{A \dot U} \, \psi^{\dot U} + m c \, \delta_{A \dot U} \, \psi^{\dot U} &= 0 \end{array} \]

Interessant ist hier der Ausdruck \[\delta_{A \dot U}\], der benötigt wird, um zwei Spinoren unterschiedlichen Transformationsverhaltens (gewöhnliche und konjugierte Darstellung) zu addieren. Um ein sinnvolles Transformationsverhalten zu erhalten, ist also diese Version naheliegend:

\[ - i \hbar \, \partial_{A \dot U} \, \psi^{\dot U} + m c \, \bar \psi_A = 0 \]

Es ergibt sich auch hier ein Strom

\[ j^\mu = \bar \psi^A \, \sigma^\mu_{A \dot U} \, \psi^{\dot U} \]

\[ \partial_\mu j^\mu = 0 \, . \]

d'Alembert-Operator ed

Die Spin-Divergenz

\[ \bar V \rightarrow V: \xi^{\dot U} \mapsto {\partial^A}_{\dot U} \, \xi^{\dot U} \]

Es gilt

\[ \partial_{A \dot U} \partial^{A \dot U} = \partial_\mu \sigma^\mu_{A \dot U} \partial^\nu \sigma_\nu^{A \dot U} = -2 \partial_\mu \partial^\mu \, . \]

Krümmung ed

Linearer Zusammenhang...

\[ \nabla_{A \dot U} \, \xi_B = \partial_{A \dot U} \, \xi^B + \xi^D \gamma_{A \dot U B D} \]

4-Komponenten Spinoren ed

Clifford-Algebren ed

Clifford-Algebren ed

Allgemein ed

Sei \[V\] ein \[n\]-dimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt. Definiere ein neues (lineares) Produkt auf \[V\] mit

\[ vw + wv = - 2 \langle v, w \rangle \, . \]

Hierdurch kann eine Algebra \[\mathcal{C}l(V) = \mathcal{C}l(n)\] (die Clifford-Algebra) definiert werden, in die \[V\] und \[\mathbb R\] eingebettet sind. Um diese Algebra eindeutig zu machen, wird gefordert, dass sie die "freieste" mit diesem Produkt ist.

Es stellt sich heraus, dass ihre Dimension \[2^n\] ist und sie damit als Vektorraum mit der äußeren Algebra isomorph ist, allerdings nicht als Algebra.

Um pragmatisch zu bleiben, konkrete Beispiele:

1-dimensional ed

Sei \[n=1\]. Der normierte Basisvektor in \[V\] sei \[e\]. Wegen

\[ ee = - \langle e, e \rangle = - 1 \]

Mit der Identifikation \[i = e\] gilt somit \[\mathcal{C}l(1) \simeq \mathbb C\].

2-dimensional ed

Sei \[n=2\] und \[e_1, e_2\] eine ON-Basis.

Spin-Gruppe ed

Definition ed

Die Gruppe \[\operatorname{Pin}(V) \subset \mathcal{C}l(V)\] besteht aus den Elementen der Form

\[ g = v_1 v_2 \dots v_m, \qquad v_i \in V, \, \|v_i\| = 1. \]

Die Gruppe \[\operatorname{Spin}(V) \lt \operatorname{Pin}(V)\] besteht aus Elementen mit \[m\] gerade.

Zusätzlich benötigt man eine Transponier-Operation, die einfach die Reihenfolge umkehrt:

\[ g^t = (v_1 v_2 \dots v_m)^t = v_m \dots v_2 v_1 \]

Die Pin/Spin-Gruppe besitzt eine \textbf{Wirkung} auf \[V\] durch

\[ \rho(g)v = g v g^t \in V \]

Bedeutung ed

Beispielhaft:

\[ \rho(e_1) v = e_1 (\sum_k v^k e_k) e_1 = v^1 e_1 \underbrace{e_1 e_1}_{-1} + \sum_{k \gt 1} v_k \underbrace{e_1 e_k e_1}_{-e_k e_1 e_1 = + e_k} = - v^1 e_1 + \sum_{k \gt 1} v^k e_k \]

Allgemein wirken Gruppenelemente, die nur aus einem Vektor bestehen, durch Spiegelung entlang dieses Vektors. Beliebige Gruppenelemente aus Pin(V) wirken durch wiederholte Spiegelung. Damit ist \[\rho : \operatorname{Pin}(V) \rightarrow O(V)\] bzw. \[\rho : \operatorname{Spin}(V) \rightarrow SO(V)\].

Wegen \[\rho(\pm 1) = 1\] ist die Pin/Spin Gruppe jeweils eine doppelte Überlagerung der O/SO(V).

Spinor-Räume ed

Sei \[n\] gerade.

Der komplexifizierte Raum \[V \otimes \mathbb C\] besitzt einen Unterraum \[W\] (den \textbf{Spinor-Raum}), der durch die Basis

\[ \frac{1}{\sqrt{2}}(e_1 - i e_2), \frac{1}{\sqrt{2}}(e_3 - i e_4), \dots, \frac{1}{\sqrt{2}}(e_{n-1} - i e_n) \]

\[ \frac{1}{\sqrt{2}}(e_1 + i e_2), \dots, \frac{1}{\sqrt{2}}(e_{n-1} + i e_n) \]

\[ V \otimes \mathbb C = W \oplus \bar W \, . \]

Wird auch das Skalarprodukt von \[V\] komplex fortgesetzt, so sind die Vektoren in \[W\] und \[\bar W\] isotrop, denn z.B.

\[ \langle (e_1 - i e_2), (e_1 - i e_2) \rangle = \langle e_1, e_1 \rangle - \langle e_2, e_2 \rangle - 2 i \langle e_1, e_2 \rangle = 1 - 1 - 0 = 0 \, . \]