kontinuierliche Ableitung ed

Diese Idee ist zwar komplett von mir, aber leider gab es sie schon unter dem Namen "fraktionale Infinitesimalrechnung".

Grundidee ed

Der Übergang von natürlichen Potenzen einer Zahl ( \( x^n, \ \ n \in \mathfrak{N} \) ) zu reellen Potenzen geschieht über \( x^\alpha = \exp \ln x^\alpha = \exp ( \alpha \ln x ), \ \ \alpha \in \mathfrak{R} \) .

Wendet man das selbe Konzept auf den Ableitungsoperator ( \( \left( \frac{ d }{ dx } \right)^n \) ) ergibt sich \( \left( \frac{ d }{ dx } \right)^\alpha := \exp ( \alpha \ln \frac{ d }{ dx } ) \)

Damit bleibt aber ln und exp des Operators zu berechnen.

Eigenbasis ed

Wie aus der Funktionalanalysis oder Quantenmechanik bekannt, können Funktionen von Operatoren einfach in deren Eigenbasis berechnet werden, wobei sich die Berechnung auf die Funktionswerte der Operator-Eigenwerte beschränkt ("Matrix-Diagonalisierung").

Die Eigenvektoren/Eigenfunktionen zum Ableitungsoperator sind die exp-Funktionen. Die Entwicklung in diese Basis entspricht einer Fourier- bzw. einer Laplacetransformation. Ich nehme hier das Beispiel der Fourier-Transformation:

Eigenbasis: \( \phi_k ( x ) = \frac 1 { \sqrt{ 2 \pi } } e^{ i k x } \)