kontinuierliche Ableitung ed

Diese Idee ist zwar komplett von mir, aber leider gab es sie schon unter dem Namen "fraktionale Infinitesimalrechnung".

Grundidee ed

Der Übergang von natürlichen Potenzen einer Zahl ( \( x^n, \ \ n \in \mathfrak{N} \) ) zu reellen Potenzen geschieht über \( x^\alpha = \exp \ln x^\alpha = \exp ( \alpha \ln x ), \ \ \alpha \in \mathfrak{R} \) .

Wendet man das selbe Konzept auf den Ableitungsoperator ( \( \left( \frac{ d }{ dx } \right)^n \) ) ergibt sich \( \left( \frac{ d }{ dx } \right)^\alpha := \exp ( \alpha \ln \frac{ d }{ dx } ) \)

Damit bleibt aber ln und exp des Operators zu berechnen.

Eigenbasis ed

Wie aus der Funktionalanalysis oder Quantenmechanik bekannt, können Funktionen von Operatoren einfach in deren Eigenbasis berechnet werden, wobei sich die Berechnung auf die Funktionswerte der Operator-Eigenwerte beschränkt ("Matrix-Diagonalisierung").

Die Eigenvektoren/Eigenfunktionen zum Ableitungsoperator sind die exp-Funktionen. Die Entwicklung in diese Basis entspricht einer Fourier- bzw. einer Laplacetransformation. Ich nehme hier das Beispiel der Fourier-Transformation:

Eigenbasis: \( | \phi_k \rangle = \phi_k ( x ) = \frac 1 { \sqrt{ 2 \pi } } e^{ i k x } \)

Dann ist

$ 
 \begin{array}{ll}
   \left( \frac{ d }{ dx } \right)^\alpha f(x)
   & = \frac 1 { 2 \pi } \left( \frac{ d }{ dx } \right)^\alpha \int dk \ e^{ i k x } \int dy \ e^{ - i k y } f ( y ) \\
   & = \frac 1 { 2 \pi } \exp ( \alpha \ln \frac{ d }{ dx } ) \int dk \ e^{ i k x } \int dy \ e^{ - i k y } f ( y ) \\
   & = \frac 1 { 2 \pi } \int dk \ \exp ( \alpha \ln ( i k ) ) e^{ i k x } \int dy \ e^{ - i k y } f ( y ) \\
   & = \frac 1 { 2 \pi } \int dk \ ( i k )^\alpha e^{ i k x } \int dy \ e^{ - i k y } f ( y )
 \end{array}
$ 

Die letzte Zeile ist das Endergebnis und definiert meinen Begriff der kontinuierlichen Ableitung.

Eigenschaften ed

Leicht zu sehen ist, dass für \( \alpha = 0 \) der Ausdruck die Ursprüngliche Funktion reproduziert, da insgesamt nur eine Fourier-Transformation und anschließende -Rücktransformation durchgeführt wurde.

Für \( \alpha = 1 \) ergibt sich auch die bekannte Formel für die Ableitung im Fourier-Raum.

Die Wellenfunktion \( \phi_{k=1}(x) \) selbst erhält nur eine Phasenverschiebung durch den Vorfaktor \( i^\alpha \) also um \( \pi \alpha / 2 \) . Somit werden sin, cos ebenfalls nur kontinuierlich phasenverschoben.

Wellenfunktionen \( \phi_{k e 1}(x) \) werden zusätzlich in ihrer Amplitude skaliert.