algebraische Topologie ed

nur ein paar wichtige Formeln

Definitionen ed

Homotopie

Eine Familie \( f_t : X \rightarrow Y \) (stetiger) Abb., so dass \( F : X \times I \rightarrow Y, \quad F(x, t) = f_t(x) \) stetig ist.

homotop (Funktionen)

\( f_0 \simeq f_1 : X \rightarrow Y \), falls Homotopie \(f_t\) beide verbindet.

Deformations Retraktion

\( A \subset X \), Homotopie \( f_t : X \rightarrow X \), sodass \( f_0 = id_X, \quad f_1(X) = A, \quad {f_t}_{|A} = id_A \forall t \).

Retraktion

Das Ende \(f_1\) einer Deformations Retraktion.

Homotopie Äquivalenz

\( f : X \rightarrow Y \), falls \(g\) ex., so dass \( f \circ g \simeq id \), \( g \circ f \simeq id \). (\( X \simeq Y \))

Fundamentalgruppe ed

Grundlagen ed

Pfadhomotopie

Endpunkte fest.

Fundamentalgruppe \( \pi_1(X, x_0) \)

Äquivalenzklassen von Schleifen mit Endpunkten \(x_0\) unter Pfadhomotopie.

Retraktion

Inklusion \( i : A \rightarrow X \) induziert \( i_\star : \pi_1(A, x_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0) \) injektiv.

Anwendung: Es existiert keine Retraktion \( D^2 \rightarrow \partial D^2 = S^1 \), da \( i_\star : \pi_1(S^1) = \mathbb Z \rightarrow \pi_1(D^2) = 0 \) nicht injektiv.

Deformations-Retraktion

\( i_\star : \pi_1(A, x_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0) \) bijektiv.

Homotopie Äquivalenz

\( \phi : X \rightarrow Y \) induziert Isomorphismen \( \phi_\star : \pi_1(X) \rightarrow \pi_1(Y) \) für alle Basispunkte.

Van Kampen's Theorem ed

Raum \( X \) sei Vereinigung offener, wegzusammenhängender \( A_i \) (alle enthalten den Basispunkte). Seien alle \( A_i \cap A_k \) wegzusammenhängend, dann ist die Abbildung vom freien Produkt \( \Phi : \star_i \pi_1(A_i) \rightarrow \pi_1(X) \) surjektiv.

Sind zusätzlich alle \( A_i \cap A_k \cap A_l \) wegzusammenhängend, dann ist \( \pi_1(X) \approx \star_i \pi_1(A_i) / N \) mit der normalen Gruppe \( N \), die von Elementen der Form \( i_{ik}(w) i_{ki}(w)^{-1} \) (mit \( w \in \pi_1(A_i \cap A_k) \), \( i_{ik} : \pi_1(A_i \cap A_k) \rightarrow \pi_1(A_i) \) ) erzeugt wird.

Homologie ed

Lange exakte Sequenz ed

Sei \( A \subset X \). \( C_n(X, A) = C_n(X) / C_n(A) \),... \( H_n = \dots \)

\[ \dots \rightarrow H_n(A) \stackrel{i_\star}\rightarrow H_n(X) \stackrel{j_\star}\rightarrow H_n(X, A) \stackrel{\partial}\rightarrow H_{n-1}(A) \rightarrow \dots \rightarrow H_0(X, A) \rightarrow 0 \]

mit \( i \) Inklusion und \( j \) Restklassenprojektion.

Mayer Vietoris Sequenzen ed

\( X \) sei Vereinigung des Inneren von \( A, B \). Dann

mit \( \Phi(x) = (x, -x), \ \Psi(x, y) = x + y \)

gehört zur kurzen exakten Sequenz

\[ 0 \rightarrow C_n(A \cap B) \stackrel{\Phi}\rightarrow C_n(A) \oplus C_n(B) \stackrel{\Psi}\rightarrow C_n(X) \rightarrow 0 \]