algebraische Topologie ed

nur ein paar wichtige Formeln

Definitionen ed

Homotopie

Eine Familie \[f_t : X \mapsto Y\] (stetiger) Abb., so dass \[F : X \times I \mapsto Y, \quad F(x, t) = f_t(x)\] stetig ist.

homotop (Funktionen)

\[f_0 \simeq f_1 : X \mapsto Y\], falls Homotopie \[f_t\] beide verbindet.

Deformations Retraktion

\[A \subset X\], Homotopie \[f_t : X \mapsto X\], sodass \[f_0 = id_X, \quad f_1(X) = A, \quad f_t_{|A} = id_A \forall t\].

Retraktion

Das Ende \[f_1\] einer Deformations Retraktion.

Van Kampen's Theorem ed

Raum \( X \) sei Vereinigung offener, wegzusammenhängender \( A_i \) (alle enthalten den Basispunkte). Seien alle \( A_i \cap A_k \) wegzusammenhängend, dann ist die Abbildung vom freien Produkt \( \Phi : \star_i \pi_1(A_i) \rightarrow \pi_1(X) \) surjektiv.

Sind zusätzlich alle \( A_i \cap A_k \cap A_l \) wegzusammenhängend, dann ist \( \pi_1(X) \approx \star_i \pi_1(A_i) / N \) mit der normalen Gruppe \( N \) , die von Elementen der Form \( i_{ik}(w) i_{ki}(w)^{-1} \) (mit \( w \in \pi_1(A_i \cap A_k) \) , \( i_{ik} : \pi_1(A_i \cap A_k) \rightarrow \pi_1(A_i) \) ) erzeugt wird.

Lange exakte Sequenz ed

Sei \( A \subset X \) . \( C_n(X, A) = C_n(X) / C_n(A) \) ,... \( H_n = \dots \)

\( \dots \rightarrow H_n(A) \stackrel{i_\star}\rightarrow H_n(X) \stackrel{j_\star}\rightarrow H_n(X, A) \stackrel{\partial}\rightarrow H_{n-1}(A) \rightarrow \dots \rightarrow H_0(X, A) \rightarrow 0 \)

mit \( i \) Inklusion und \( j \) Restklassenprojektion.

Mayer Vietoris Sequenzen ed

\( X \) sei Vereinigung des Inneren von \( A, B \) . Dann

\( \dots H_n(A \cap B) \stackrel{\Phi}\rightarrow H_n(A) \oplus H_n(B) \stackrel{\Psi}\rightarrow H_n(X) \stackrel{\partial}\rightarrow H_{n-1}(A \cap B) \rightarrow \dots H_0(X) \rightarrow 0 \)

mit \( \Phi(x) = (x, -x), \ \Psi(x, y) = x + y \)

gehört zur kurzen exakten Sequenz

\( 0 \rightarrow C_n(A \cap B) \stackrel{\Phi}\rightarrow C_n(A) \oplus C_n(B) \stackrel{\Psi}\rightarrow C_n(X) \rightarrow 0 \)