algebraische Topologie ed

nur ein paar wichtige Formeln

Definitionen ed

Homotopie

Eine Familie \[ f_t : X \rightarrow Y \] (stetiger) Abb., so dass \[ F : X \times I \rightarrow Y, \quad F(x, t) = f_t(x) \] stetig ist.

homotop (Funktionen)

\[ f_0 \simeq f_1 : X \rightarrow Y \], falls Homotopie \[f_t\] beide verbindet.

Deformations Retraktion

\[ A \subset X \], Homotopie \[ f_t : X \rightarrow X \], sodass \[ f_0 = id_X, \quad f_1(X) = A, \quad f_t_{|A} = id_A \forall t \].

Retraktion

Das Ende \[f_1\] einer Deformations Retraktion.

Homotopie Äquivalenz

\[ f : X \rightarrow Y \], falls \[g\] ex., so dass \[ f \circ g \simeq id \], \[ g \circ f \simeq id \]. (\[ X \simeq Y \])

Fundamentalgruppe ed

Grundlagen ed

Pfadhomotopie

Endpunkte fest.

Fundamentalgruppe \[ \pi_1(X, x_0) \]

Äquivalenzklassen von Schleifen mit Endpunkten \[x_0\] unter Pfadhomotopie.

Retraktion

Inklusion \[ i : A \rightarrow X \] induziert \[ i_\star : \pi_1(A, x_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0) \] injektiv.

Anwendung: Es existiert keine Retraktion \[ D^2 \rightarrow \partial D^2 = S^1 \], da \[ i_\star : \pi_1(S^1) = \mathbb Z \rightarrow \pi_1(D^2) = 0 \] nicht injektiv.

Deformations-Retraktion

\[ i_\star : \pi_1(A, x_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0) \] bijektiv.

Homotopie Äquivalenz

\[ \phi : X \rightarrow Y \] induziert Isomorphismen \[ \phi_\star : \pi_1(X) \rightarrow \pi_1(Y) \] für alle Basispunkte.

Van Kampen's Theorem ed

Raum \( X \) sei Vereinigung offener, wegzusammenhängender \( A_i \) (alle enthalten den Basispunkte). Seien alle \( A_i \cap A_k \) wegzusammenhängend, dann ist die Abbildung vom freien Produkt \( \Phi : \star_i \pi_1(A_i) \rightarrow \pi_1(X) \) surjektiv.

Sind zusätzlich alle \( A_i \cap A_k \cap A_l \) wegzusammenhängend, dann ist \( \pi_1(X) \approx \star_i \pi_1(A_i) / N \) mit der normalen Gruppe \( N \) , die von Elementen der Form \( i_{ik}(w) i_{ki}(w)^{-1} \) (mit \( w \in \pi_1(A_i \cap A_k) \) , \( i_{ik} : \pi_1(A_i \cap A_k) \rightarrow \pi_1(A_i) \) ) erzeugt wird.

Homologie ed

Lange exakte Sequenz ed

Sei \( A \subset X \) . \( C_n(X, A) = C_n(X) / C_n(A) \) ,... \( H_n = \dots \)

\( \dots \rightarrow H_n(A) \stackrel{i_\star}\rightarrow H_n(X) \stackrel{j_\star}\rightarrow H_n(X, A) \stackrel{\partial}\rightarrow H_{n-1}(A) \rightarrow \dots \rightarrow H_0(X, A) \rightarrow 0 \)

mit \( i \) Inklusion und \( j \) Restklassenprojektion.

Mayer Vietoris Sequenzen ed

\( X \) sei Vereinigung des Inneren von \( A, B \) . Dann

\( \dots H_n(A \cap B) \stackrel{\Phi}\rightarrow H_n(A) \oplus H_n(B) \stackrel{\Psi}\rightarrow H_n(X) \stackrel{\partial}\rightarrow H_{n-1}(A \cap B) \rightarrow \dots H_0(X) \rightarrow 0 \)

mit \( \Phi(x) = (x, -x), \ \Psi(x, y) = x + y \)

gehört zur kurzen exakten Sequenz

\( 0 \rightarrow C_n(A \cap B) \stackrel{\Phi}\rightarrow C_n(A) \oplus C_n(B) \stackrel{\Psi}\rightarrow C_n(X) \rightarrow 0 \)