Thermostatistik ed

nützliche Mathematik: Differentialformen

Grundlagen Thermodynamik ed

Definitionen ed

thermodynamisches System

makroskopisches System aus sehr vielen Teilchen/Atomen/... mit sehr vielen Freiheitsgraden (Mikrozustände uninteressant)

isoliertes System

kein Austausch von Teilchen oder Eigenschaften (Energie, Wechselwirkungen)

geschlossenes System

kein Austausch von Materie mit der Umgebung

offenes System

Materie- und Eigenschaften austauschbar

Kontakt

Wechselwirkung zwischen Systemen, Austausch von Eigenschaften

extensive Zustandsgrößen

mengenabhängig (additiv bei Zusammensetzung von Systemen) z.B. V, Masse, U

intensive Zustandsgrößen

mengenunabhängig, z.B. T, p,...Dichten

Zustand

vollständiger Satz von unabhängigen Zustandsgrößen, Punkt im Zustandsraum

Gleichgewichtszustand

Zustand, in dem die Zustandsgrößen zeitlich konstant bleiben

quasistatischer Prozess

Zustandsänderung langsam gegenüber Relaxationszeit, durchläuft nur Gleichgewichtszustände

Kreisprozess

Anfangs- und Endzustand sind gleich

Arbeit ed

Die innere Energie ist der Anteil der Gesamtenergie (kinetisch und potentiell), der nicht von der Bewegung des Schwerpunktes abhängt. Da der Schwerpunkt meist fest im Laborsystem ist, ist dies die Gesamtenergie. Die innere Energie ist eine Zustandsgröße.

Arbeit ist die Änderung der inneren Energie des Systems. Das Vorzeichen ist also positiv, wenn das System Energie gewinnt. Sie ist immer von der Form

$  \delta W = \xi d X  $ 

wobei \( \xi \) intensive Variable und \( X \) extensive Variable ist (konjugierte Variaben).

mechanische (Volumen-) Arbeit

\( \delta W_{mech} = - p dV \)

Magnetisierungsarbeit

\( \delta W_{mag} = \mathbf{B} \cdot d \mathbf{m} \) ( \( \mathbf{B} \) : Magnetfeld, \( \mathbf{m} \) : magnetisches Moment)

chemische Arbeit

\( \delta W_{chem} = \mathbf{\mu} \cdot d \mathbf{N} \) ( \( \mathbf{\mu} \) : magnetische Potentiale, \( \mathbf{N} \) : Teilchenzahlen)

Temperatur (0. HS) ed

0. Hauptsatz

Jedes System besitzt eine Temperatur, eine intensive skalare Zustandsgröße, die ein (thermisches) Gleichgewicht anstrebt, in dem die Größe überall gleich ist.

Die Eigenschaft des thermischen Gleichgewichts ist transitiv und induziert eine Ordnungsrelation. Sie erlaubt auch den Bau von Thermometern, die ein Gleichgewicht mit einem anderen System einnimmt und so auch die Temperatur dieses Systems annimmt/anzeigt. Die Temperaturfunktion ist aber nur monoton, ansonsten noch beliebig.

Über ideale Gase wird eine Temperatur (-Funktion) \( T \) definiert.

Wärme (1. HS) ed

adiabatischer Prozess

kein Austausch von Wärme

Joule: 2 beliebige Zustände eines thermisch isolierten Systems lassen sich "mechanisch kontrolliert" durch einen Arbeitsprozess verbinden (zumindest in einer Richtung)

z.B (Gas) durch Kompression (adiabatisch, reversibel) oder durch Rühren (isochor, irreversibel)

Die von außen verrichtete, mechanische Arbeit kann gemessen werden und entspricht der Änderung der inneren Energie: \( \Delta U = U_b - U_a = W ( a \rightarrow b ) \) . Diese Differenz ist nach Joule für beliebige Zustände definiert und messbar (die Arbeit ist im adiabatischen Fall also eine Zustandsgröße).

Lässt man auch thermische Wechselwirkungen zu, wird zusätzliche Energie ausgetauscht und die \( A \) und \( \Delta U \) stimmen nicht mehr überein. Beide können aber gemessen werden. \( A \) wärend des nicht-adiabatischen Prozesses selbst, \( \Delta U \) dagegen über die Arbeit der mechanisch kontrollierbaren (adiabatischen) Ersatzprozesse. Die Differenz ist die ausgetauschte Wärme:

$  Q ( a \rightarrow b ) := \Delta U - W ( a \rightarrow b )  $ 

Somit gilt der

1. Hauptsatz

\( dU = \delta Q + \delta W \ \ ( + \delta W_{chem} ) \)

Wärmekapazität

\( C_x = \left( \frac{ \delta Q }{ dT } \right)_x ( \) x \( wird bei der Wärmezufuhr festgehalten) === Zustandsgleichungen (ideales Gas, etc) === Zustandsgleichungen beschreiben Abhängigkeiten zwischen den Zustandsvariablen und somit eine Fläche im Zustandsraum. Beispiele: ; ideales Gas : macht die Vorraussetzungen ''Punktteilchen'' (keine Eigenvolumina der Teilchen) und ''keine Wechselwirkung'' untereinander '''Achtung''': das ideale Gas widerspricht dem 3. Hauptsatz! Seine Zustandsgleichung ist \) p V = n R T = N k_B T \( mit \) n \( der Molzahl, \) N \( der Teilchenzahl und \) k_B = 1,3805 \cdot 10^{-23} J/K \( der Boltzmann-Konstante. Dabei ist das '''Boyle-Mariottesche Gesetz''': \) \frac{ p V }{ N } = \mathrm{const} \( ; Van der Waals-Gas : Teilchen haben Eigenvolumen und Wechselwirkung, effektive Größen mit \) p_{eff} V_{eff} = n R T \( Zustandsgleichung: \) ( p + a \frac{ n^2 }{ V^2 } ) ( V - n b ) = n R T \( \) a , b \( sind Materialkonstanten. Dies ist eine Gleichung 3. Grades in \) V \( , hat in einem Bereich 3 Lösungen, in einem anderen nur eine. Der Übergang dazwischen ist der '''kritische Punkt''' ( \) V_c = 3 b n \( , \) p_c = \frac{ a }{ 27 b^2 } \( , \) T_c = \frac{ 8 a }{ 27 b R } \( ). Hierdurch lassen sich '''reduzierte Größen''' definieren ( \) \pi = p / p_c \( , \) v = V / V_c \( , \) t = T / T_c \( und damit die Zustandsgleichung: \) ( \pi + \frac 3 { v^2 } ) ( 3 v - 1 ) = 8 t \( ; idealer Paramagnet : periodischer Festkörper mit periodisch angeordneten, permanenten magnetischen Momenten, die untereinander nicht wechselwirken und statistisch verteilt sind Keine Vektoren nötig... Zustandsgleichung: \) M = M_0 L( m \frac{ B_0 }{ k_B T } ) \( mit der Langevin-Funktion \) L ( x ) = \mathrm{coth} x - \frac 1 x \( , der Magnetisierung \) M \( , der Sättigungsmagnetisierung \) M_0 = \frac N V m \( , dem magnetischen Moment der einzelnen Teilchen \) m \( und \) B_0 = \mu_0 H \( . Für hohe Temperaturen gilt das '''Curie-Gesetz''': \) M = \frac C T H \( mit der Curie-Konstanten \) C = \mu_0 \frac N V \frac{ m^2 }{ 3 k_B } \( ; Weißscher Ferromagnet : Austauschwechselwirkung zwischem Momenten, kritische Temperatur \) T_c \( (Curie-Temperatur), oberhalb paramagnetisch, unterhalb spontane Magnetisierung Noch nicht ganz verstandene Wechselwirkung: \) B_{eff} = \mu_0 \lambda M \( . Zustandsgleichung rekursiv...spontane Magnetisierung...Hysterese... Näherung für große Temperaturen und kleine Felder: '''Curie-Weiß-Gesetz''': \) M ( H , T ) \approx \frac C { T - T_c } H $