Matrixtransformationen ed

Vektoren sind ohne Vektorpfeile bezeichnet: v, w.

Es werden 2 Basis-Systeme gewählt: \( \{ e_i \} \) und \( \{ f_i \} \) . In diesen Systemen hat der Vektor v jeweils die Koordinatendarstellungen \( v = \sum_i v^i e_i = \sum_i v'^i f_i \) , mit den Koordinaten als Spaltenvektoren \( \vec{v} := ( v^i ) \) und \( \vec{v'} := ( v'^i) \) geschrieben.

Die Koordinatentransformation wird beschrieben durch die Matrix T: \( \vec{v'} = T \vec{v} \Rightarrow \vec{v} = T^{-1} \vec{v'} \) .

lineare Abbildungen ed

Eine lineare Abbildung f, für die gilt: \( w = f ( v ) \) , wird in den beiden Koordinatensystemen jeweils durch eine Matrix beschrieben: \( \vec{w} = A \ \vec{v} \) und \( \vec{w'} = A' \ \vec{v'} \) . Somit gilt:

$ 
 \begin{array}{ll}
   \vec{w'} & = A' \ \vec{v'} \\
           & = T \ \vec{w} = T \ A \ \vec{v} = T \ A \ ( T^{-1} \ T ) \ \vec{v} \\
           & = T \ A \ T^{-1} \ \vec{v'}
 \end{array}
$ 

Das Transformationsverhalten ist also:

$ 
 \begin{array}{|c|}
   \hline
   A' = T \ A \ T^{-1} \\
   \hline
 \end{array}
$ 

Skalarprodukte ed

Ein Skalarprodukt (eines unitären Vektorraumes) sei \( \langle v , w \rangle \) . In den beiden Basissystemen wird es auch jeweils durch eine Matrix beschrieben: \( \langle v , w \rangle = \vec{v}^\dagger \ B \ \vec{w} = \vec{v'}^\dagger \ B' \ \vec{w'} \) .

$ 
 \begin{array}{ll}
   \vec{v'}^\dagger \ B' \ \vec{w'} & = \vec{v}^\dagger \ B \ \vec{w} \\
    & = \vec{v}^\dagger \ ( T^\dagger \ T^{-1 \dagger} ) \ B ( T^{-1} \ T ) \ \vec{w} \\
    & = ( T \ \vec{v} )^\dagger \ T^{-1 \dagger} \ B \ T^{-1} \ ( T \ \vec{w} ) \\
    & = \vec{v'}^\dagger \ T^{-1 \dagger} \ B \ T^{-1} \ \vec{w'}
 \end{array}
$ 

Und somit:

$ 
 \begin{array}{|c|}
   \hline
   B' = T^{-1 \dagger} \ B \ T^{-1} \\
   \hline
 \end{array}
$