Matrixtransformationen ed

Vektoren sind ohne Vektorpfeile bezeichnet: v, w.

Es werden 2 Basis-Systeme gewählt: \( \{ e_i \} \) und \( \{ f_i \} \) . In diesen Systemen hat der Vektor v jeweils die Koordinatendarstellungen \( v = \sum_i v^i e_i = \sum_i v'^i f_i \) , mit den Koordinaten als Spaltenvektoren \( \vec{v} := ( v^i ) \) und \( \vec{v'} := ( v'^i) \) geschrieben.

Die Koordinatentransformation wird beschrieben durch die Matrix T: \( \vec{v'} = T \vec{v} \Rightarrow \vec{v} = T^{-1} \vec{v'} \) .

lineare Abbildungen ed

Eine lineare Abbildung f, für die gilt: \( w = f ( v ) \) , wird in den beiden Koordinatensystemen jeweils durch eine Matrix beschrieben: \( \vec{w} = A \ \vec{v} \) und \( \vec{w'} = A' \ \vec{v'} \) . Somit gilt:

$ 
 \begin{array}{ll}
   \vec{w'} & = A' \ \vec{v'} \\
           & = T \ \vec{w} = T \ A \ \vec{v} = T \ A \ ( T^{-1} \ T ) \ \vec{v} \\
           & = T \ A \ T^{-1} \ \vec{v'}
 \end{array}
$ 

Das Transformationsverhalten ist also:

$ 
 \begin{array}{|c|}
   \hline
   A' = T \ A \ T^{-1} \\
   \hline
 \end{array}
$ 

Skalarprodukte ed

Ein Skalarprodukt (eines unitären Vektorraumes) sei \( \langle v , w \rangle \) . In den beiden Basissystemen wird es auch jeweils durch eine Matrix beschrieben: \( \langle v , w \rangle = \vec{v}^\dagger \ B \ \vec{w} = \vec{v'}^\dagger \ B' \ \vec{w'} \) .

$ 
 \begin{array}{ll}
   \vec{v'}^\dagger \ B' \ \vec{w'} & = \vec{v}^\dagger \ B \ \vec{w} \\
    & = \vec{v}^\dagger \ ( T^\dagger \ T^{-1 \dagger} ) \ B ( T^{-1} \ T ) \ \vec{w} \\
    & = ( T \ \vec{v} )^\dagger \ T^{-1 \dagger} \ B \ T^{-1} \ ( T \ \vec{w} ) \\
    & = \vec{v'}^\dagger \ T^{-1 \dagger} \ B \ T^{-1} \ \vec{w'}
 \end{array}
$ 

Und somit:

$ 
 \begin{array}{|c|}
   \hline
   B' = T^{-1 \dagger} \ B \ T^{-1} \\
   \hline
 \end{array}
$ 

Anmerkungen ed

lineare Abbildungen ed

Selbstadjungierte (hermitesche) lineare Abbildungen müssen nicht immer selbstadjungierte Matrizen haben und umgekehrt!

Sei zum Beispiel eine Basis \( \{ f_1 , f_2 \} \) und eine zweite \( \{ e_1 = f_1 , e_2 = f_1 + f_2 \} \) gegeben, dann sind die Koordinaten der e-Basisvektoren in der f-Basis \( \vec{e'}_1 = \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array} \right) , \vec{e'}_2 = \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \) und die Transformationsmatrix von e-Koordinaten nach f-Koordinaten ist \( T = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \Rightarrow T^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \)

Sei nun eine lineare Abbildung in der e-Basis gegeben durch die (selbstadjungierte!) Matrix \( A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right) \) , dann ist die Matrix in f-Koordinaten \( A' = T \ A \ T^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right) \)

Diese Matrix ist offensichtlich nicht selbstadjungiert!

Würde sich nun die Eigenschaft der Selbstadjungiertheit einer linearen Abbildung auf ihre Matrizen übertragen, müsste diese Eigenschaft auch bei Basiswechsel erhalten bleiben (ansonsten hätte eines der Basis-Systeme mehr Recht als das andere....)

Andererseits, wenn man sich auf Basiswechsel mit unitärer Transformationsmatrix ( \( T^{-1} = T^\dagger \) ) beschränkt, bleibt diese Eigenschaft erhalten, weswegen die Selbstadjungiertheit der Matrizen in Orthonormalbasen gleichbedeutend ist mit der der linearen Abbildung. In einer Orthonormalbasis ist die Matrix B des Skalarproduktes die Einheitsmatrix.

$ 
 \begin{array}{ll}
   \langle v , w \rangle & = \vec{v}^\dagger \ B \ \vec{w} = \vec{v}^\dagger \ \vec{w} \\
   \stackrel{\mathrm{f \ hermit.}}= \langle f(v) , f(w) \rangle & = ( A \ \vec{v} )^\dagger \ A \ \vec{w} \\
   & = \vec{v}^\dagger \ ( A^\dagger \ A ) \ \vec{w} \\
   & \Leftrightarrow A^\dagger \ A = E \Leftrightarrow A^{-1} = A^\dagger
 \end{array}
$ 

Skalarprodukte ed

Die Matrix B ist in jeder Basis selbstadjungiert:

$  \langle e_i , e_j \rangle = \vec{e}_i^\dagger \ B \ \vec{e}_j = B_{ij} = \overline{ \langle e_j , e_i \rangle } = \overline{ B_{ji} } \Rightarrow B = B^\dagger  $ 

Das ist mit dem Transformationsverhalten vereinbar, da bei Transformation die Matrix von links und rechts mit gleichen, aber zueinander adjungierten, Matrizen multipliziert wird.