Grassmann Algebra ed

Verallgemeinert unter anderem das Kreuzprodukt auf Vektorräume beliebiger Dimension.

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äußere (Grassmann) Algebra ed

äußeres Produkt ed

Definition
Man nehme einen Vektorraum \( V \) mit Basis \( \{ e_i \} \) und Dimension n. Hierauf lässt sich rein abstrakt ein äußeres Produkt ( \( x \wedge y \) ) definieren durch ( \( x, y, v_i \in V \) ):
assoziativ, bilinear
\( x \wedge x = 0 \) (antisymmetrisch) (die anderen beiden sind Folgen hieraus)
\( x \wedge y = - y \wedge x \)
\( v_1 \wedge \cdots \wedge v_k = 0 \) , falls die \( v_i \) linear abhängig sind

Räume von Produkten
Der Raum, der von Produkten zweier Vektoren aufgespannt wird (also deren Linearkombinationen), ist \( \bigwedge^2(V) := \langle x \wedge y | x,y \in V \rangle \) , der Raum der Produkte k vieler Vektoren ist \( \bigwedge^k(V) \) . Es gilt \( \bigwedge^k(V) = \emptyset, \mathrm{falls} \ k\gt n \) , denn es gibt höchstens n linear unabhängige Vektoren. Man definiert noch \( \bigwedge^1(V) := V, \bigwedge^0(V) := \mathbb R \) .

Als äußere Algebra oder Grassmann-Algebra wird nun die direkte Summe der äußeren Produkträume bezeichnet:

\( \bigwedge(V) := \oplus_{k=0}^n \bigwedge^k(V) \)
Die Elemente werden Multivektoren genannt.

Anmerkung
Ähnlich den Tensorprodukten lassen sich schon in \( \bigwedge^2(V) \) nicht mehr alle Elemente in das äußere Produkt zweier Vektoren zerlegen, im Allgemeinen sind hierzu schon Linearkombinationen nötig.

Basis ed

Die Basis jedes \( \bigwedge^k(V) \) wird gebildet von den äußeren Produkten k vieler Basisvektoren \( e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_k} \) , wobei für die Indizes \( i_1 \lt \cdots \lt i_k \) gilt, da gleiche Indizes Null ergeben und unterschiedliche Indizes immer angeordnet werden (Antisymmetrie!). Es gilt damit \( \dim \bigwedge^k(V) = { n \choose k } \) .

Elemente \( a \in \bigwedge^2(V) \) können nun als Linearkombinationen der Basiselemente \( \{e_i \wedge e_j,i\lt j\} \) ausgedrückt werden. Der Einfachheit halber indiziert man die Entwicklungskoeffizienten mit demselben Indexpaar, wie die Basiselemente:

\( a = \sum_{i\lt j} a^{ij} e_i \wedge e_j \)
Wird diese Koeffizientenmatrix antisymmetrisch ergänzt, kann dies geschrieben werden als
\( a = \frac 12 \sum_{i,j=1}^n a^{ij} e_i \wedge e_j =: \frac 12 a^{ij} e_i \wedge e_j \)

Entsprechend gilt für höhere Multivektoren

\( \bigwedge^k(V) i a = \sum_{i_1\lt \dots\lt i_k}a^{i_1 \dots i_k} e_{i_1} \wedge \dots \wedge e_{i_k} = \frac{1}{k!} a^{i_1 \dots i_k} e_{i_1} \wedge \dots \wedge e_{i_k} \)

Rang ed

(nicht so wichtig)

Die äußeren Produkträume \( \bigwedge^k(V) \) entsprechen den antisymmetrischen Tensoren der Stufe k. Ähnlich der Tensorstufe wird der Rang des äußeren Produktes als k definiert.

Ein Element der (gesammten) äußeren Algebra \( \bigwedge(V) \) kann in Linearkombinationen von Elementen der einzelnen Produkträumen zerlegt werden, der Rang ist dann der höchste Rang der Teil-Elemente.

Beispiel ed

Für einen 3-dimensionalen Raum mit Basis \( e_1, e_2, e_3 \) ergeben sich folgende Multiplikationstafel:

$
\begin{array}{c|ccc|ccc|c}\wedge & e_1 & e_2 & e_3 & e_1 \wedge e_2 & e_1 \wedge e_3 & e_2 \wedge e_3 & e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 \\\hlinee_1 & 0 & e_1 \wedge e_2 & e_1 \wedge e_3 & 0 & 0 & e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 & 0 \\e_2 & - e_1 \wedge e_2 & 0 & e_2 \wedge e_3 & 0 & - e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 & 0 & 0 \\e_3 & - e_1 \wedge e_3 & - e_2 \wedge e_3 & 0 & e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 & 0 & 0 & 0 \\\hlinee_1 \wedge e_2 & 0 & 0 & e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\e_1 \wedge e_3 & 0 & - e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\e_2 \wedge e_3 & e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hlinee_1 \wedge e_2 \wedge e_3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\end{array}
$

Das erstaunliche am äußeren Produkt ist, dass seine Definition unabhängig von der gewählten Basis des Vektorraums ist. D.h. sie gilt vor allem auch in nicht-ON-Basen.

Dualraum ed

Definition ed

Der Dualraum zu \( V \) sei

\( V^\star := \{ f : V \rightarrow \mathbb R | \mathrm{linear} \} \)
(also der Raum der Funktionen, die Vektoren linear auf reelle Zahlen abbilden). Man kann zeigen, dass
\( \dim V^\star = \dim V \) .

Analog definiert man nun auch auf dem Dualalraum das äußere Produkt \( \bigwedge(V^\star) \) .

Ist auf \( V \) eine Basis \( \{ e_i \} \) gegeben, so wird für den Dualraum die Dualbasis \( \{ \tilde e^i \} \) verwendet, für die gilt:

\( \tilde e^i ( e_j ) = \delta^i_j \) .

natürliches inneres Produkt ed

engl: interior product

Es existiert eine natürliche Abbildung, die einen Vektor und einen Dualvektor auf eine reelle Zahl abbildet, indem der Vektor einfach in den Dualvektor eingesetzt wird. Hierfür gilt:

\( f(v) = (f_i \tilde e^i)(v^j e\j) = f_i v^j \delta^j_i = f_i v^i \)

Entsprechend kann dieses Produkt auf die Räume der äußeren Produkte \( \bigwedge^k(V) \) und \( \bigwedge^k(V^\star) \) ausgeweitet werden:

\( (\alpha \in V^\star) \ \ i_\alpha : \bigwedge^k(V) \rightarrow \bigwedge^{k-1}(V) \)

Für ein \( \omega \in \bigwedge^k(V^\star) \) gilt

Hodge Dualität ed

Categories: Mathematik